Бесконечно малые и бесконечно большие функции

При вычислении пределов большую роль играют бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.

v Функция называется бесконечно малой функцией при (или при ), если она при этом стремится к нулю: .

Примеры.

1. Функция - б.м.ф. в точках , т.к. .

2. Функция - б.м.ф. при , т.к. .

v Функция называется бесконечно большой функцией при (при ), если ее предел равен бесконечности: .

Примеры.

3. Функция - б.б.ф. при , т.к. .

4. Функция - б.б.ф. в точке , т.к. .

Отметим важные свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Теорема (Свойства б.м.ф.)

1. Алгебраическая сумма конечного числа б.м.ф. и произведение конечного числа б.м.ф. есть бесконечно малая функция.

2. Произведение б.м.ф. на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция.

3. Частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую в точке ненулевой предел, есть б.м.ф.

4. Функция, обратная к бесконечно малой, есть бесконечно большая функция:

Теорема (Свойства б.б.ф.)

5. Произведение конечного числа б.б.ф. есть бесконечно большая функция.

6. Произведение б.б.ф. на функцию, имеющую предел, не равный нулю, есть бесконечно большая функция.

7. Функция, обратная к бесконечно большой, есть бесконечно малая функция:

Примеры. Вычислить пределы.

1. .

2. .

3. .

4. Раскрытие неопределенностей ,

Часто подстановка предельного значения аргумента в функцию приводит к неопределенным выражениям вида , , , и так далее. В таких ситуациях при вычислении предела нельзя применить равенство , ни свойства б.м.ф. и б.б.ф. Нахождение предела в таких случаях называется «раскрытием неопределенности».

Для раскрытия неопределенностей в пределе используют различные приемы.

Неопределенность вида . Если функция есть отношение многочленов, то для раскрытия неопределенности нужно числитель и знаменатель разделить почленно на в наибольшей степени.

Пример.

Запишем правило вычисления предела отношения двух многочленов при раскрытии неопределенности типа .

Неопределенность вида .

А) Если функция есть отношение многочленов , то для раскрытия неопределенности нужно разложить многочлены и на множители и сократить на множитель , стремящийся к нулю.

Б) Если функция содержит иррациональность, то для раскрытия неопределенности нужно избавиться от иррациональности с помощью формул сокращенного умножения и др.

Поиск по сайту: