Экстремумы (максимумы и минимумы) функции

Выбор наилучшего варианта из множества возможных называется оптимизацией, которая сводится к отысканию максимумов и минимумов функции.

· Значение функции называется максимумом функции , если для любой точки из окрестности точки выполняется . Соответствующее значение аргумента называется точкой максимума.

· Значение функции называется минимумом функции , если для любой точки из окрестности точки выполняется . Соответствующее значение аргумента называется точкой минимума.

· Максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции, а точки максимума и минимума - точками экстремума функции.

Экстремум функции часто называют локальным экстремумом, подчеркивая то, что понятие экстремума связано с достаточно малой окрестностью точки .

Очевидно, прежде чем строить график функции, необходимо выяснить, имеет ли функция экстремумы, и найти их. Как это сделать?

§ Точка называется критической точкой функции , если имеет место одно из условий:

1) ; 2) не существует.

Геометрически это означает, что в критической точке касательная к графику функции: 1) параллельна оси ОХ; 2) либо параллельна оси ОУ, либо касательная вовсе не существует.

Сформулируем необходимое условие экстремума функции.

ТЕОРЕМА (необходимое условие экстремума функции )

Если - точка экстремума функции , то или не существует (то есть - критическая точка).

Отсюда следует, что точками экстремума непрерывной функции могут быть лишь критические точки. Однако это условие не является достаточным. Чтобы выяснить, является ли критическая точка точкой экстремума функции, нужно проверить выполнение достаточных условий.

Теорема (Первый достаточный признак экстремума).

Пусть функция непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности точки (в самой точке производная может не существовать). Если при переходе через точку слева направо производная

1) меняет знак с плюса на минус, то является точкой максимума;

2) меняет знак с минуса на плюс, то является точкой минимума;

3) не меняет знак, то не является точкой экстремума.

Схема исследования функции на экстремум

1. Найти область определения функции .

2. Найти производную .

3. Найти критические точки , в которых производная равна нулю или не существует (точки возможного экстремума).

4. Разбить область определения функции критическими точками на интервалы.

5. Определить знак производной на каждом интервале. На тех интервалах, где , функция возрастает, а там, где - функция убывает.

6. Если при переходе через критическую точку слева направо:

меняет знак с «+» на «-», то точка является точкой максимума;

меняет знак с «-» на «+», то точка является точкой минимума;

не меняет знак, то точка не является точкой экстремума.

7. Вычислить значения функции и в точках экстремума.

Теорема (Второй достаточный признак экстремума).

Пусть функция и ее производные и непрерывны в некоторой окрестности точки и . Тогда если значение второй производной в точке :

1) , то – точка максимума функции;

2) , то – точка минимума функции.

При исследовании функции на экстремум с помощью второго достаточного признака в схеме пункты 1, 2, 3 останутся без изменения, а пункт 4 формулируется так:

4. Найти вторую производную , определить ее знак в каждой критической точке и сделать вывод о наличии экстремумов в этой точке (с помощью второго достаточного признака экстремума).

Пример 2. Найти точки экстремума функции .

Функция определена при всех действительных значениях .

Производная равна нулю при . На знак производной влияет только числитель , так как знаменатель при любом .

При (слева от критической точки) производная отрицательна: например, . А при (справа от критической точки) производная положительна: например, .

Значит, по первому достаточному признаку экстремума точка есть точка минимума функции. Минимум функции равен .

Ответ.

Поиск по сайту: