Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке

При решении прикладных задач часто требуется найти наименьшее и наибольшее значения функции на некотором промежутке изменения ее аргумента. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции основывается на следующем свойстве непрерывных функций.

Если функция непрерывна на отрезке , то она обязательно принимает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения. Эти значения достигаются либо внутри отрезка, либо в граничных точках этого отрезка.

Правило отыскания глобального экстремума функции на отрезке (наибольшего и наименьшего значения функции).

1. Найти область определения функции и проверить, принадлежи ли ей заданный отрезок.

2. Найти критические точки внутри отрезка и вычислить значения функции в критических точках (не исследуя наличие в них экстремума).

3. Вычислить значения функции , на концах отрезка.

4. Сравнить полученные значения функции в критических точках и на концах отрезка: большее из них будет наибольшим значением функции на отрезке , а меньшее – наименьшим значением функции на этом отрезке.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Математическая модель задачи имеет вид:

Точки возможного экстремума функции определяются из равенства нулю ее производной: Обе точки принадлежат отрезку . Вычислим значения функции:

; ; ; .

Сравним полученные значения:

наибольшее значение функции ;

наименьшее значение функции .

Ответ: ,

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение производной функции.

2. Приведите пример, когда производная не существует.

3. Каков геометрический смысл производной?

4. Запишите уравнения касательной к линии в точке .

5. В чем состоит экономический смысл производной?

6. Каков экономический смысл производной функции , в которой - время, - количество выпущенной продукции?

7. Какая функция называется дифференцируемой?

8. В чем состоит связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции?

9. Сформулируйте основные правила нахождения производных, запишите их математически.

10. Сформулируйте правило нахождения производной сложной функции. Приведите пример.

11. Дайте определение производных высших порядков.

12. Когда применяется правило Лопиталя?

13. Дайте определение дифференциала функции .

14. Каков геометрический смысл дифференциала?

15. В чем заключается свойство инвариантности формы первого дифференциала?

16. Чем отличается дифференциал от полного приращения?

17. Каковы свойства дифференциала функции?

18. Дайте определение дифференциала второго порядков.

19. Запишите формулу для вычисления дифференциала .

20. Как применяется дифференциал в приближенных вычислениях?

[1] Философский энциклопедический словарь. – М.: ИНФРА-М, 2000. – 576 с. - С. 498

Поиск по сайту: