Дифференциал функции. Понятие дифференциала тесно связано с понятием производной и является одним из важнейших понятий в математике

Понятие дифференциала тесно связано с понятием производной и является одним из важнейших понятий в математике.

Пусть - функция, дифференцируемая в каждой точке отрезка .

Производная этой функции определяется равенством .

Отношение при стремится к числу и, значит, отличается от производной на бесконечно малую величину: , где при .

Умножая все члены последнего равенства на , получим . Произведение есть бесконечно малая величина первого порядка относительно , так как .

Таким образом, приращение функции состоит из двух слагаемых, из которых первое слагаемое есть (при ) главная часть приращения, прямо пропорциональная первой степени приращения , т.е. линейная часть относительно .

Пример 4. Найдем для функции приращение функции:

Выделим в приращении функции ту часть, которая линейная относительно приращения аргумента , это . Полученное выражение и будет называться дифференциалом функции: .

§ Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно приращения аргумента часть приращения функции.

В предыдущем примере . Заметим, что множитель - это производная функции: . Поэтому дифференциал функции равен произведению производной на приращение аргумента:

.

Подставим в эту формулу . Тогда , то есть

- диф ференциал независимой переменной равен ее приращению .

Поэтому формула дифференциала функции примет вид

.

Эта формула показывает, что для нахождения дифференциала функции достаточно найти ее производную и умножить на .

Отсюда следует, что - производную можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

Пример 5. Найти дифференциал функции .

Решение. .

Пример 6. Найти дифференциал функции .

Решение.

Геометрический смысл дифференциала функции

y

 

касательная

А

М В

 

 

Касательная в точке М разбивает отрезок ВN на два отрезка, один из которых АВ – это линейная (главная) часть приращения функции , которая называется дифференциалом и обозначается .

Из треугольника АВМ получим или . Таким образом, геометрически дифференциал функции в точке , равен приращению ординаты точки, движущейся по касательной к кривой.

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 |

Поиск по сайту:

---