Плоский циркуляционный поток (вихрь)

Если в жидкости поместить бесконечно длинный прямолинейный вихрь, то вокруг него образуется поток, в котором частицы жидкости будут двигаться по концентрическим окружностям с постоянной для каждой окружности скоростью (рис.11). Такое течение называется плоским циркуляционным потоком.

Для определения скорости в произвольной точке потока вычислим циркуляцию G по окружности произвольного радиуса r, на которой скорость постоянна и равна V:

,

откуда можно выразить скорость

.

Так как в соответствии с теоремой Стокса циркуляция равна интенсивности вихря, то она постоянна и одинакова для окружности любого радиуса. Если учесть, что G=const, из последней формулы следует, что скорости в потоке, окружающем вихрь, убывают обратно пропорционально радиусу r.

Несмотря на то, что данное движение вызвано вихрем, оно потенциально, в чем нетрудно убедиться, подставляя полученное значение скорости V в формулы для проекций угловых скоростей вращения частицы, полученные ранее в главе «Кинематика жидкости» [1].

Если рассматривать движение в цилиндрической системе координат с началом на оси вихря, то получим радиальную составляющую скорости , а окружная составляющая скорости V_q будет иметь вид

. (2.12)

Несмотря на то, что эта проекция скорости обозначается индексом q, она не может быть найдена как производная от потенциала по q, так как q является углом, а не направлением. На рис.12 показан элементарный прямоугольный треугольник, связывающий q с l – направлением, вдоль которого направлена скорость V_q. Из рис.12 следует

.

С учетом этого

. (2.13)

Здесь стоят полные производные вместо частных, так как составляющая скорости вдоль направления r равна нулю.

Из (2.12) и (2.13) следует, что , что после интегрирования дает потенциал скорости плоского циркуляционного потока

, (2.14)

где G - величина, постоянная для данного потока.

Поиск по сайту: