Сопротивление тела при неустановившемся движении. Понятие присоединенной массы

Рассмотрим простейший случай неустановившегося движения тела – прямолинейное движение тела вдоль оси x (рис. 18) с переменной во времени скоростью . Как и в случае движения с постоянной скоростью, при движении тела с переменной скоростью существуют вязкостное и волновое сопротивления. При движении тела с переменной скоростью расчет этих составляющих производится, исходя из позиций гипотезы стационарности. В соответствии с этой гипотезой вязкостная и волновая составляющие сопротивления определяются как для тела, двигающегося с постоянной скоростью, равной мгновенной скорости тела в рассматриваемый момент времени при неустановившемся движении.

Кроме этих составляющих сопротивления, при движении тела с переменной скоростью имеет место инерционная сила R_ин. Эту составляющую можно получить из закона об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии системы за промежуток времени dt равно работе приложенных к системе сил, то есть

. (5.2)

Здесь dT_ж – изменение кинетической энергии жидкости, окружающей тело за время dt; R – изменяющаяся во времени сила, с которой тело действует на жидкость.

Согласно третьему закону Ньютона, со стороны жидкости на тело будет действовать сила R_ин=-R, которая является искомой инерционной составляющей. Тогда на основании (5.2) можно записать

,

откуда

. (5.3)

Таким образом, для определения инерционной силы необходимо знать кинетическую энергию жидкости, окружающей тело.

Кинетическая энергия частицы жидкости объемом dV (рис. 18), имеющей скорость v, равна

,

а всей жидкости

. (5.4)

Несмотря на то, что объем жидкости V_¥ может быть безграничным, интеграл в последнем выражении – величина конечная, так как любое тело конечных размеров, двигаясь в жидкости конечное время, может сообщить ей лишь конечную кинетическую энергию.

Разделим и умножим выражение (5.4) на , тогда

. (5.5)

Интеграл в этой формуле имеет размерность массы и называется присоединенной массой l:

.

Таким образом, вместо (5.5) можно записать

(5.6)

Из последнего выражения следует, что присоединенная масса – это такая фиктивная масса жидкости, которая при движении со скоростью тела обладает кинетической энергией, равной кинетической энергии жидкости, окружающей движущееся тело.

В приведенном определении l масса названа фиктивной в том смысле, что она не является какой-либо массой конечных размеров, движущейся вместе с телом.

Величина присоединенной массы зависит от формы тела и направления движения тела в жидкости. С другой стороны, можно показать, что l не зависит от времени, так как, несмотря на неустановившийся характер движения, скорость v в каждый момент времени пропорциональна v_T и их отношение постоянно во времени.

Учитывая сказанное, после подстановки (5.6) в (5.3) получим

, (5.7)

где знак «минус» показывает, что инерционная сила направлена в сторону, противоположную ускорению; при ускоренном движении

Запишем уравнение движения тела с массой m под действием силы P (рис.19), которой может быть, например, упор гребного винта. В соответствии со вторым законом Ньютона

или с учетом (5.7)

,

откуда, перенеся инерционное слагаемое в левую часть, получим

.

Последнее выражение показывает, что влияние жидкости на движущееся в ней тело с ускорением приводит как бы к увеличению массы тела m на величину l. В этом смысле l и получила название присоединенной массы.

В настоящее время присоединенные массы определяются на базе теории невязкой жидкости.

Поиск по сайту: