Низкий бесконечный барьер

Потенциальная энергия имеет вид

(4.31)

Слово «низкий» означает, что высота барьера U меньше энергии частицы Е (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Низкий потенциальный барьер: пунктиром показаны энергия налетающей слева частицы, цифрами - номера областей с различной потенциальной энергией

Решим уравнение Шредингера отдельно для каждой из областей. В области 1 потенциальная энергия равна нулю, и мы получаем то же самое уравнение (4.22), что и для свободной частицы, и его общее решение в уже известном виде

где А и В - амплитуды падающей и отраженной волн соответственно.

В области 2 уравнение Шредингера имеет вид

В этой области меняется кинетическая энергия (и импульс) частицы, и мы должны ввести другой волновой вектор (обозначим его k₂ в отличие от прежнего k₁)

Тогда очевидно, что решение уравнения Шредингера в области 2 будет иметь тот же вид, что и для области 1 с заменой k₁ на k₂. Однако из физических соображений ясно, что в области 2 не может быть волны, распространяющейся справа налево (в бесконечно удаленной точке ей не от чего отражаться). Поэтому волновая функция в этой области соответствует прямой волне

По сути дела, здесь мы снова использовали некое граничное условие, хотя и иное, нежели для задачи о связанном состоянии. Нам осталось определить только амплитуды А, В, С.

Для этого мы должны вспомнить, что y₁(x) и y₂(x) - значения одной волновой функции в разных пространственных областях. Эта волновая функция должна быть непрерывна вместе со своей первой производной по переменной х. Непрерывность функции в точке х=0 означает, что должно выполняться условие

откуда

Решение двух полученных уравнений дает

Амплитуда падающей волны остается неопределенной: ясно, что она зависит от интенсивности потока частиц! Важны не сами амплитуды, а отношение R квадратов их модулей, то есть интенсивностей отраженной и падающей волн:

(4.32)

Величина R называется коэффициентом отражения частицы от низкого барьера. По физическому смыслу это вероятность отражения частицы от барьера. Соответственно, величина

называемая коэффициентом прохождения, определяет вероятность проникновения частицы в правую область. Удивительно, что частица имеет шанс отразиться от низкого барьера и повернуть назад. В классической физике частица всегда (R=0) проникает за барьер, если ей хватает на это энергии. Например, с точки зрения классической физики электрон с энергией 10 эВ, влетевший в конденсатор с тормозящим полем 5 В, безусловно, преодолеет торможение и продолжит свой путь с уменьшенной энергией 5 эВ. В квантовой же теории не равна нулю вероятность того, что электрон отразится от поля конденсатора и повернет назад. Коэффициент отражения можно измерить, направляя поток частиц на барьер и измеряя долю отраженных от него частиц.

Поиск по сайту: