Стационарное уравнение Шредингера. В теории операторов важную роль играют так называемые собственные состояния операторов

В теории операторов важную роль играют так называемые собственные состояния операторов. Это такие состояния, которые при действии данного оператора меняются тривиальным образом: умножаются на некоторое число. Это число называется собственным значением оператора, соответствующим данному собственному состоянию. Чтобы найти собственные состояния и собственные значения какого-то оператора, надо решить уравнение

где индекс п отличает одно решение от другого. Набор величин А_п, то есть набор собственных значений оператора, определяет его свойства.

Рассмотрим в качестве примера операцию поворота вокруг некоторой оси z. Роль состояний играют здесь обычные радиусы-векторы. Очевидно, что при повороте все векторы меняются, кроме параллельных оси. Это и есть собственные векторы оператора поворота вокруг оси z, причем соответствующее собственное значение равно единице. Аналогичны выводы для поворота вокруг осей х и у. Произвольный поворот можно получить комбинацией этих трех поворотов. Соответственно, любой радиус-вектор можно представить как линейную комбинацию трех собственных векторов i, j, k. Ситуация с другими операторами по сути ничем не отличается от описанной: зная набор собственных состояний Y_n(t, r), любое другое состояние Y(t, r) можно получить с помощью линейной комбинации, то есть с помощью принципа суперпозиции:

(4.17)

Связь математики с физикой реализуется в следующем правиле.

Поиск по сайту: