АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Волна вероятности

Читайте также:
  1. S: На пути световой волны, идущей в воздухе, поставили стеклянную пластинку толщиной 1 мм. На сколько изменится оптическая длина пути, если волна падает на пластинку нормально?
  2. Анализ вероятности
  3. Безусловные вероятности состояний марковской цепи
  4. Вероятности начальных состояний цепи Маркова
  5. Вероятности перехода цепи Маркова
  6. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
  7. вибрации и показателей вероятности вибрационной болезни
  8. Волна вероятности. Уравнение Шредингера
  9. Волна сострадания: «Святые угодники... этот больной ублюдок...»
  10. Вопрос 2 Формула апостериорной вероятности Байеса
  11. Вопрос 2 Формула апостериорной вероятности Байеса.

Предыдущая глава закончилась констатацией, что мы пока не установили, что именно колеблется при движении электрона. В истории физики такое уже случалось. Когда-то при выводе уравнений электродинамики Максвелл тоже не знал, что представляют собой описываемые им колебания и волны, но уравнения оказались верны. Поэтому отложим пока вопрос о физической природе волн де Бройля и просто введем некую «электронную» волну, то есть волновую функцию Y(t, r). О ней мы знаем пока только одно: волновая функция должна описывать результаты опытов, доказывающих волновые свойства электронов (дифракцию и т. п.).
Представим мысленно эксперимент В.А. Фабриканта (см. разд.3.2. Волны материи), в котором электроны поочередно направлялись на кристалл, играющий роль дифракционной решетки. За кристаллом помещалась фотопластинка, на которой в конце концов возникали типичные дифракционные кольца. Из классической физики известно, какие математические средства описывают такую картину: обычное сложение интерферирующих волн, интенсивности которых пропорциональны

Правда, в отличие от обычной волны электрон не делится на части: при прохождении электронов через кристалл каждый из них попадает в какую-то одну точку на фотопластинке, вызывая почернение именно здесь и нигде больше. В этом проявляются свойства электрона как частицы. Несмотря на одинаковые начальные условия, электроны, как показал опыт, попадают в разные точки. О данном конкретном электроне заранее неизвестно, в какую именно точку на пластинке он попадет. В этом проявляются его волновые свойства. Дифракционная картина возникает, когда через кристалл пройдет достаточно много таких электронов. Интенсивность почернения пластинки в данной точке пропорциональна числу попавших туда частиц, то есть вероятности попадания.
В классической же физике почернение пластинки определяется интенсивностью волны, то есть квадратом модуля волновой функции. Выходит, что величина

 
 

пропорциональна вероятности обнаружить электрон в точке r в момент времени t. Волна де Бройля - это волна вероятности! Отдельный акт взаимодействия электрона с кристаллом остается отдельным актом (электрон-частица), но результат его можно предсказать только вероятностно, статистически (электрон-волна). В этом - смысл корпускулярно-волнового дуализма. Квантовая механика создана и 1925-1927 гг. В. Гейзенбергом и Э. Шредингером; вероятностная интерпретация волновой функции дана чуть позже в работах М. Борна и школы Н. Бора.
Итак, вероятность найти электрон в точке r должна быть пропорциональна

Но вероятность обнаружить электрон точно в данном месте исчезающе мала; имеет смысл говорить лишь о его попадании в малый объем dV окружающий эту точку. Ясно, что вероятность dW обнаружить там электрон пропорциональна величине объема. Поэтому для вероятности имеем

  (4.1)

Иными словами

- это плотность вероятности найти частицу в точке с координатой r.

Вероятность W(V) найти частицу в каком-то конечном объеме V вычисляется с помощью сложения вероятностей, то есть интегрированием

  (4.2)

Интегрирование в (4.2) ведется по объему V (в случае одномерного движения - по отрезку).

Полная вероятность найти частицу хоть где-нибудь в пространстве должна быть равна единице. Отсюда - так называемое условие нормировки волновой функции: такой же интеграл по всему пространству равен единице, то есть

  (4.3)

Замечание: выполнение этого условия возможно для тех задач, в которых классическая частица движется в ограниченной области пространства (финитное движение). Для других движений условие нормировки усложняется.

Наблюдаемые физические величины должны описываться действительными числами и функциями. Соответственно, мы представляли классические волны (звуковые, электромагнитные) в виде

Можно было бы воспользоваться математическим формализмом комплексных чисел, основываясь на формуле Эйлера

где
- мнимая единица. Тогда ту же волну можно было бы представить в виде действительной части выражения

  (4.4)

Где

Начальная фаза здесь включена в комплексную амплитуду А. В применении к классическим волнам оба формализма эквивалентны, так как в конечном итоге берется только действительная часть волны. В отличие от классических волн, волна вероятности комплексна. Физические наблюдаемые величины выражаются через квадрат модуля волновой функции, так что и в квантовой механике они будут описываться действительными числами. Но комплексность волновой функции имеет глубокую связь с законом сохранения электрического заряда, так что применение комплексных чисел и функций в квантовой механике - не прихоть, а необходимость. Поверхность постоянной фазы в волне X (4.4) распространяется вдоль волнового вектора k, фазовая скорость волны по-прежнему равна

так что переход к комплексным волнам не меняет привычных нам соотношений.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)