|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Нормальний закон розподілу. Серед розподілів неперервних випадкових величин центральне місце займає нормальний (закон Гаусса)Серед розподілів неперервних випадкових величин центральне місце займає нормальний (закон Гаусса). Він часто застосовується в задачах практики, проявляється в тих випадках, коли випадкова величина Х є результатом дії великого числа факторів, кожний з яких окремо на величину Х впливає мало і не можна виділити, який більше, а який менше. Основна особливість, що виділяє нормальний закон серед інших, полягає в тому, що він є граничним законом, до якого наближаються інші закони розподілу. Означення. Нормальним називається розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини, якщо її густина розподілу має вигляд: (12) для довільного значення і довільних чисел і . Числа і називають параметрами розподілу і мають певний ймовірнісний зміст, який розглянемо нижче. Графіком функції (12) є крива, яку в літературі називають кривою Гаусса, або нормальною кривою.
Якщо у формулі (12) покласти , отримуємо нормовану функцію Гаусса, яка нам уже траплялася в теоремах Муавра-Лапласа (див. лк.23, §3) під назвою функції Лапласа. Бачимо, що нормальний розподіл визначається двома параметрами: і . Досить знати ці параметри, щоб задати нормальний закон розподілу. Доведемо, що ймовірнісний зміст цих параметрів наступний: - математичне сподівання, а - середнє квадратичне відхилення. Дійсно: а) Перший доданок , бо функція непарна, а інтегрування ведеться в межах, симетричних відносно початку координат; другий доданок - інтеграл Пуассона, отже: . (13) б) . (14) Відмітимо деякі властивості нормальної кривої: а) крива симетрична відносно прямої і ; б) крива має один максимум при , бо при , при і , при ; в) крива асимптотично наближається до осі , бо ; г) зміна математичного сподівання при призводить до зміщення кривої Гаусса вздовж осі . При зміні середнього квадратичного відхилення і крива розподілу міняє свій вигляд (див рис.1), де крива І відповідає , крива ІІ - , а для кривої ІІІ - , .
Поряд з диференціальною функцією розподілу (12) нормального закону розподілу розглянемо й інтегральну функцію. Згідно з означенням, маємо: . Перший інтеграл відомий в літературі як інтеграл Пуассона і його значення дорівнює 0,5. Тоді у другому робиться заміна : . (15) Як наслідок з формули (15) отримаємо ймовірність попадання випадкової величини, розподіленої за нормальним законом, в інтервал : (16) Легко встановити і відхилення випадкової величини від її математичного сподівання на наперед задану величину : . (17) З останньої формули (17) легко встановити правило трьох сигм, а саме, покладемо . . Якщо , тобто , то (18) В цьому полягає сутність правила трьох сигм: якщо випадкова величина розподілена нормально, то абсолютна величина її відхилення від математичного сподівання не перевищує потроєного середнього квадратичного відхилення. Приклад 1. Похибка радіодальноміра має нормальний закон розподілу з м, м. Знайти ймовірність того, що виміряне значення дальності буде відхилятися від істинного не більше, ніж на 20 м. Рішення. Скористаємось формулою (17): . Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |