Ймовірність об’єднання несумісних подій

Теорема 1. Ймовірність об’єднання скінченного числа несумісних подій рівна сумі ймовірностей цих подій:

Р(А₁ А_{2 ...}А_n)=Р(А₁)+Р(А₂)+...+Р(А_n). (1)

Доведення. Нехай теорема має місце для n-1 подій:

.

Позначимо , тоді, в силу аксіоми об’єднання двох подій:

Теорема доведена.

Якщо число несумісних подій, що входять в об’єднання, є нескінченно великим, то поширення правила додавання ймовірностей на цей випадок встановлюється аксіоматично.

Аксіома 6. Ймовірність об’єднання нескінченно великого числа несумісних подій рівна сумі ймовірностей цих подій:

(2)

Наслідок 1. Якщо події А₁, А₂,..., А_n утворюють повну групу несумісних подій, то сума їх ймовірностей рівна одиниці:

Доведення. Так як події А₁, А₂,..., А_n утворюють повну групу подій, то

- подія достовірна. Так як події А₁, А₂,..., А_n – несумісні, то

. (3)

Наслідок 2. Сума ймовірностей протилежних подій рівна одиниці:

, що випливає з наслідку 1. Тому

. (4)

Приклад 1. При прийомі партії з 80 виробів, серед яких 6 бракованих, перевіряються 40 навмання вибраних деталей. Знайти ймовірність того, що партія буде прийнята, якщо умовами прийому допускається наявність не більше двох бракованих виробів серед перевіряючих.

Рішення. Нехай подія А полягає в тому, що при перевірці 40 виробів не буде виявлено жодного бракованого, В – буде виявлено 1 бракований виріб з 40, С – буде виявлено 2 бракованих вироби з 40. Події А, В, С – несумісні.

Згідно з умовами прийому, партія виробів буде прийнята, якщо буде мати місце подія . Тому, згідно з теоремою 1, запишемо:

.

Із 80 виробів 40 можна вибрати способами. Із 74 небракованих виробів 40 виробів можна вибрати способами, тобто

Аналогічно

тому

Поиск по сайту: