|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Дисперсія і середнє квадратичне відхилення
Для характеристики випадкової величини недостатньо знати лише її математичне сподівання, так як одному і тому ж математичному сподіванню може відповідати нескінченна множина випадкових величин з різними законами розподілу. Значення випадкових величин завжди коливається біля середнього значення. Це явище називається розсіюванням величини біля її середнього значення. Основними характеристиками розсіювання випадкової величини є середнє квадратичне відхилення. Означення. Дисперсією D[X] випадкової величини X називається математичне сподівання квадрату відхилення цієї величини від її математичного сподівання: . Для дискретної випадкової величини дисперсія виражається сумою: (1) а неперервної – інтегралом: (2) Дисперсія випадкової величини є зручною характеристикою розсіювання, але вона має той недолік, що має розмірність квадрату випадкової величини. Для більшої зручності вводиться характеристика, що має розмірність випадкової величини, а саме – корінь квадратний з дисперсії: , (3) і її називають середнім квадратичним відхиленням, або стандартом. Зауваження. Якщо брати математичне сподівання відхилення випадкової величини від її математичного сподівання, то отримуємо завжди: . Цей результат є цілком природним, він показує, що випадкова величина відхиляється від свого математичного сподівання як вправо, так і вліво, а тому додатні та від’ємні значення знищуються і він ніякої характеристики розсіювання не дає. Найпростіші властивості дисперсії: Властивість 1. Дисперсія будь-якої випадкової величини невід’ємна. Доведення безпосередньо випливає з означення дисперсії, так як . Властивість 2. Дисперсія постійної величини рівна нулю: D(C)=0. Доведення. Дійсно Властивість 3. Дисперсія добутку сталої величини на випадкову величину рівна добутку квадрату постійної величини на дисперсію випадкової величини: D(CX)=C2D(X). Властивість 4. Дисперсія випадкової величини дорівнює різниці між математичним сподіванням квадрату цієї величини і квадратом її математичного сподівання: D(X)=M(X)2-M2D(X) (4) Доведення. Дійсно M(X-M(X))2=M(X2-2M(X)X+M2(X))=M(X2)-2M(X)M(X)+M(M2(X))= =M(X2)-2M2(X)+M2(X)=M(X2)-M2(X). Властивість 5. Дисперсія об’єднання двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсії: D(XÈY)=D(X)+D(Y) (5) Доведення. Дійсно D(XÈY)=M(XÈY)2-M2(XÈY)=M(X2È2XYÈY2)- -(M(X)+M(Y))2=M(X2)+2M(X)M(Y)+M(Y2)+M(Y2)-M2(X)-2M(X)M(Y)- -M2(Y)=(M(X2)-M2(X))+M(Y2)-M2(Y)=D(X)+D(Y). Наслідок 1. Дисперсія різниці незалежних випадкових величин рівна сумі їх дисперсій. Наслідок 2. Дисперсія суми скінченного числа незалежних випадкових величин рівна сумі їх дисперсій. Наведемо теореми про математичне сподівання і дисперсію деяких дискретних випадкових величин. Теорема 1. Якщо Х1 Х2…Хn – однаково розподілені випадкові величини, математичні сподівання кожної з яких рівне а, то математичне сподівання їх об’єднання рівне n a, а математичне сподівання середньої арифметичної рівне а.
Теорема 2. Якщо Х 1 Х2…Хn – однаково розподілені випадкові величини, дисперсія кожної з яких рівна s2х, то дисперсія їх об’єднання рівна n s2х, а дисперсія середньої арифметичної рівна .
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |