АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Дисперсія і середнє квадратичне відхилення

Читайте также:
  1. Дисперсія
  2. Ковзаюче середнє (лінійна фільтрація)
  3. Надійні інтервали для математичного сподівання та середнього квадратичного відхилення.
  4. Розділ 9.2. Дисперсія та середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової величини
  5. Точкова оцінка дисперсії. Виправлена дисперсія

Для характеристики випадкової величини недостатньо знати лише її математичне сподівання, так як одному і тому ж математичному сподіванню може відповідати нескінченна множина випадкових величин з різними законами розподілу.

Значення випадкових величин завжди коливається біля середнього значення. Це явище називається розсіюванням величини біля її середнього значення.

Основними характеристиками розсіювання випадкової величини є середнє квадратичне відхилення.

Означення. Дисперсією D[X] випадкової величини X називається математичне сподівання квадрату відхилення цієї величини від її математичного сподівання:

.

Для дискретної випадкової величини дисперсія виражається сумою:

(1)

а неперервної – інтегралом:

(2)

Дисперсія випадкової величини є зручною характеристикою розсіювання, але вона має той недолік, що має розмірність квадрату випадкової величини.

Для більшої зручності вводиться характеристика, що має розмірність випадкової величини, а саме – корінь квадратний з дисперсії:

, (3)

і її називають середнім квадратичним відхиленням, або стандартом.

Зауваження. Якщо брати математичне сподівання відхилення випадкової величини від її математичного сподівання, то отримуємо завжди:

.

Цей результат є цілком природним, він показує, що випадкова величина відхиляється від свого математичного сподівання як вправо, так і вліво, а тому додатні та від’ємні значення знищуються і він ніякої характеристики розсіювання не дає.

Найпростіші властивості дисперсії:

Властивість 1. Дисперсія будь-якої випадкової величини невід’ємна.

Доведення безпосередньо випливає з означення дисперсії, так як .

Властивість 2. Дисперсія постійної величини рівна нулю: D(C)=0.

Доведення. Дійсно

Властивість 3. Дисперсія добутку сталої величини на випадкову величину рівна добутку квадрату постійної величини на дисперсію випадкової величини:

D(CX)=C2D(X).

Властивість 4. Дисперсія випадкової величини дорівнює різниці між математичним сподіванням квадрату цієї величини і квадратом її математичного сподівання:

D(X)=M(X)2-M2D(X) (4)

Доведення. Дійсно

M(X-M(X))2=M(X2-2M(X)X+M2(X))=M(X2)-2M(X)M(X)+M(M2(X))=

=M(X2)-2M2(X)+M2(X)=M(X2)-M2(X).

Властивість 5. Дисперсія об’єднання двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсії:

D(XÈY)=D(X)+D(Y) (5)

Доведення. Дійсно D(XÈY)=M(XÈY)2-M2(XÈY)=M(X2È2XYÈY2)-

-(M(X)+M(Y))2=M(X2)+2M(X)M(Y)+M(Y2)+M(Y2)-M2(X)-2M(X)M(Y)-

-M2(Y)=(M(X2)-M2(X))+M(Y2)-M2(Y)=D(X)+D(Y).

Наслідок 1. Дисперсія різниці незалежних випадкових величин рівна сумі їх дисперсій.

Наслідок 2. Дисперсія суми скінченного числа незалежних випадкових величин рівна сумі їх дисперсій.

Наведемо теореми про математичне сподівання і дисперсію деяких дискретних випадкових величин.

Теорема 1. Якщо Х1 Х2…Хn – однаково розподілені випадкові величини, математичні сподівання кожної з яких рівне а, то математичне сподівання їх об’єднання рівне n a, а математичне сподівання середньої арифметичної рівне а.

 

Теорема 2. Якщо Х 1 Х2…Хn – однаково розподілені випадкові величини, дисперсія кожної з яких рівна s2х, то дисперсія їх об’єднання рівна n s2х, а дисперсія середньої арифметичної рівна .

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)