|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Формула повної ймовірності. Формула Байеса
Нехай А – деяка подія, яка може відбутись або не відбутись одночасно з однією з подій Н1, Н2,...Нn, що утворюють повну групу несумісних подій . Події Н1, Н2,...Нn називають гіпотезами. Ймовірності всіх гіпотез відомі Р(Ні) (і= ), а також відомі умовні ймовірності події А при кожній гіпотезі, тобто дано: . Тоді ймовірність події А визначається теоремою. Теорема 1. (формула повної ймовірності). Ймовірність події А, що може відбутись разом з однією з гіпотез Н1, Н2,...Нn, дорівнює сумі добутків ймовірності кожної з гіпотез на відповідну умовну ймовірність події А: . (1) Доведення. Так як гіпотези Н1, Н2,...Нn утворюють повну групу подій, то подію А можна записати як: , а оскільки несумісні, то: . Теорема доведена. До цих пір розглядалася ймовірність події до випробовування, тобто в комплексі умов не був присутній результат проведеного випробовування. Тому поставимо тепер наступну задачу. Є повна група несумісних гіпотез Н1, Н2,...Нn. Відомі ймовірності кожної з гіпотез . Проводиться випробування і в його результаті відбувається подія А, ймовірності якої по кожній гіпотезі відомі, тобто . Виникає питання, які ймовірності мають гіпотези Hi в зв’язку з появою події А? Тобто були відомі ймовірності апріорні (від латинського a priori – до випробовування). Якщо ж подія А відбулася, то чи можна переоцінити ймовірності кожної з гіпотез ? Ці нові ймовірності будуть вже апостеріорними ймовірностями гіпотез (від латинського a posteriori – після випробовування). Відповідь на це питання дає теорема Байеса. Теорема 2. Ймовірність гіпотези після випробовування рівна добутку ймовірності гіпотези до випробовування на відповідну їй умовну ймовірність події, яка відбулася в результаті випробовування, поділеній на повну ймовірність цієї події: . (2) Доведення. З аксіоми множення ймовірностей випливає: Звідки
Теорема доведена. Приклад 1. До магазину надходять вироби з двох заводів, причому з першого 150 штук, а з другого 250. Перший завод випускає в середньому 0.5% бракованої продукції, другий – 0.2%. Яка ймовірність купити в магазині бракований виріб? Рішення. Нехай подія А є купівля бракованого виробу, гіпотеза Н1 – виріб, випущений першим заводом, гіпотеза Н2 – другим заводом. Тоді По формулі повної ймовірності: Приклад 2. Спеціалізована лікарня приймає в середньому 50% хворих, що мають захворювання Н1, 30% - захворювання Н2 і 20% - Н3. Статистика свідчить, що ймовірність повного виліковування хвороби Н1 дорівнює 0.9, для хвороби Н2 – 0.7 і для хвороби Н3 – 0.8. Яка ймовірність того, що пацієнт, виписаний з лікарні цілком здоровим (подія А), був хворий на хворобу Н2? Рішення. Згідно формули Байеса Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.008 сек.) |