|
|||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Законом великих чисел і центральною граничною теоремоюПри доведенні теорем, що відносяться до групи “ закону великих чисел”, використаємо нерівність Чебишева.
§1. Нерівність Чебишева
Нехай Х – випадкова величина з математичним сподіванням
Геометричний зміст цієї події полягає в тому, що значення випадкової величини Х попаде в область на числовій осі, що одержується виділенням з усієї осі інтервалу Нерівність Чебишева. Ймовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного сподівання по абсолютній величині не менше довільного додатнього числа
Доведення. Доведення проведемо для дискретної випадкової величини Х з рядом розподілу
Тоді дисперсія величини є Оскільки всі доданки невід’ємні, то відкинемо ті, у яких
де запис Замінимо під знаком суми (3) вирази
В свою чергу під знаком суми в (4) маємо ймовірність того, що випадкова величина набирає значення
що й потрібно було довести. Зауваження. Нерівність Чебищева практично має обмежене значення, оскільки часто дає грубу оцінку. Наприклад,
Але й без оцінки відомо, що ймовірність
А це вже непогана оцінка ймовірності, тобто нерівність Чебишева корисна лише при відносно великих Теоретичне ж значення нерівності Чебишева дуже велике. Використаємо цю нерівність для доведення теореми Чебишева. §2. Теорема Чебишева
Означення. Послідовність випадкових величин Х1, Х2,...Хn,... збігається по ймовірності до величини а, якщо для довільного
Теорема Чебишева. Якщо Х1, Х2,...Хn,... попарно незалежні випадкові величини, що мають рівномірно обмежені дисперсії буде як завгодно близька до одиниці, якщо число випадкових величин достатньо велике, тобто
Отже, теорема Чебишева стверджує, що коли розглянути досить велике число незалежних випадкових величин, що мають обмежені дисперсії, то майже достовірною є подія, що відхилення середнього арифметичного випадкових величин від їх математичного сподівання буде по абсолютній величині як завгодно малим числом. Доведення. Розглянемо випадкову величину (при умові
Застосуємо нерівність Чебишева до випадкової величини
Яке б не було мале
Теорема Чебишева має практичне застосування в теорії похибок, коли за істинне значення деякої величини беруть середнє арифметичне даних, отриманих в експериментах, що проводяться в однакових умовах. В математичній статистиці по теоремі Чебишева побудований вибірковий метод, суть якого полягає в тому, що про поведінку всієї сукупності можна судити за даними невеликої випадкової вибірки. Приклад 1. Ймовірність, що холодильник витримає гарантійний термін роботи, дорівнює 0.8 для всіх 100 холодильників, які обслуговує гарантійна майстерня. Оцінити ймовірність, що число холодильників, які витримають гарантійний термін роботи, буде в межах [75;85]. Рішення. Випадкова величина Х – число холодильників, що витримають гарантійний термін роботи, розподілена за біноміальним законом, тому Використаємо нерівність Чебишева:
§3. Теорема Бернуллі
Частковим випадком теореми Чебишева є теорема Бернуллі. Ця теорема вважається початком теорії ймовірності як науки. Теорема Бернуллі. Нехай у кожному із n незалежних випробувань ймовірність появи події А є постійно р. Тоді
де Доведення. Нехай випадкова величина Х1 – число появи події А в першому випробуванні, Х2 – число появи події А в другому випробуванні і т.д. Тоді кожна з величин Хі має розподіл:
де q=1-p. Тоді:
Застосуємо теорему Чебишева для будь-якого числа
§4. Центральна гранична теорема Ляпунова
Розглянуті в попередніх параграфах теореми є різними формами закону великих чисел і встановлюють факти збіжності по ймовірності деяких випадкових величин до їх постійних характеристик. При цьому ні в одній з них ми не мали справу з законами розподілу випадкових величин. В цьому параграфі ми розглянемо питання, зв’язане з знаходженням граничного закону розподілу об’єднання
коли число складових необмежено зростає. Центральна гранична теорема теорії ймовірності (теорема Ляпунова) встановлює умови, при яких вказаний граничний закон є нормальним. Сформулюємо просту форму центральної граничної теореми, коли випадкові величини Х1, Х2,...Хn,... взаємно незалежні. Теорема. Якщо випадкова величина Ця теорема дає одну з можливих відповідей на питання, чому нормально розподілені випадкові величини часто зустрічаються на практиці. Приклад 1. Кожна зі 100 незалежних випадкових величин Рішення. Оскільки значення густини показникового закону розподілу для x>0 і За умовою
Густина розподілу має вигляд: Приклад 2. Кожна з 24 незалежних випадкових величин Рішення. За теоремою Ляпунова випадкова величина Отже, густина розподілу
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.01 сек.) |