АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Лекція 3. ПОСЛІДОВНІ НЕЗАЛЕЖНІ ВИПРОБУВАННЯ

Читайте также:
  1. IV. ПОВТОРНІ ВИПРОБУВАННЯ
  2. Дисперсії яких відомі (великі незалежні вибірки)
  3. Забезпечення в незалежній Україні свободи свісті
  4. Завдання та способи випробування перспективних горизонтів
  5. Задачі на використання формул при повторних випробуваннях
  6. Запуск Simulink та послідовність створення нової моделі
  7. Зміст та послідовність виконання РІНР
  8. Ймовірність відхилення відносної частоти від сталої ймовірності в незалежних випробуваннях
  9. Лекція (15.04.2014) Тема 5: Грошові системи
  10. Лекція 1
  11. ЛЕКЦІЯ 1
  12. ЛЕКЦІЯ 1 ЩО ТАКЕ ЕТИКА?

§1. Схема Бернуллі

 

Нехай проводиться серія випробувань, в результаті якої може відбутись подія А з певною ймовірністю. Якщо ймовірність події А в кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань, то такі випробування називаються незалежними відносно події А.

Поставимо задачу.

Знайти ймовірність того, що в результаті проведення n незалежних випробувань подія А відбудеться рівно m раз, якщо в кожному із цих випробувань дана подія відбувається з постійною ймовірністю .

Шукану ймовірність позначають . Наприклад, означає ймовірність того, що при 8-ми випробуваннях подія А відбудеться 4 рази.

Такі випробування називають послідовними незалежними випробовуваннями Бернуллі. Прикладами можуть бути послідовні підкидання монети (подія А – випадання герба, ), послідовні підкидання грального кубика (подія А – випадання 5 очок, ).

Дану задачу можна розв’язати з допомогою теорем додавання і множення ймовірностей, але це призводить до дуже громіздких обчислень.

Тому виникає необхідність застосування простіших методів розрахунку. Одним з таких методів є формула Бернуллі.

Нехай в однакових умовах проводиться n випробувань, результатом кожного з них подія А може відбутися з ймовірністю , або ж з ймовірністю . Позначимо через появу події А в і-му випробуванні. Тоді:

,

Нас цікавить ймовірність того, що подія А при n випробуваннях відбудеться m раз, а в решті n-m випробуваннях відбудеться подія (подія А не відбудеться).

Так як подія А в n випробуваннях може появитись m раз в різних послідовностях або комбінаціях, то число таких комбінацій є .

Наприклад, така сполука (позначимо її подіїю В) є:

коли подія А відбулася m раз підряд, починаючи з першого випробування.

Знайдемо її ймовірність:

Так як всі комбінації події, аналогічні комбінації В, є подіями

несумісними і нам байдуже, в якій саме послідовності з’явиться подія А та , то, застосовуючи теорему додавання ймовірностей для несумісних подій, отримаємо:

. (1)

Формула (1) носить назву формули Бернуллі і має важливе значення в теорії ймовірності, бо вона зв’язана з повторенням випробувань в однакових умовах, тобто з такими умовами, в яких якраз і проявляються закони теорії ймовірності.

Набір чисел називається біномним розподілом, а саму формулу (1) називають біномною, оскільки її права частина є загальним членом розкладу бінома Ньютона . Зауважимо, що події є попарно несумісні, тому

тобто

Приклад 1. Податкова адміністрація виявила, що 40% декларацій про доходи осіб – платників податку – містить принаймі одну похибку. Яка ймовірність того, що з 10 наугад відібраних декларацій, 4 буде з похибкою?

Рішення. Ймовірність, що декларація має похибку а . Тоді:


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)