|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Лекція 3. ПОСЛІДОВНІ НЕЗАЛЕЖНІ ВИПРОБУВАННЯ§1. Схема Бернуллі
Нехай проводиться серія випробувань, в результаті якої може відбутись подія А з певною ймовірністю. Якщо ймовірність події А в кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань, то такі випробування називаються незалежними відносно події А. Поставимо задачу. Знайти ймовірність того, що в результаті проведення n незалежних випробувань подія А відбудеться рівно m раз, якщо в кожному із цих випробувань дана подія відбувається з постійною ймовірністю . Шукану ймовірність позначають . Наприклад, означає ймовірність того, що при 8-ми випробуваннях подія А відбудеться 4 рази. Такі випробування називають послідовними незалежними випробовуваннями Бернуллі. Прикладами можуть бути послідовні підкидання монети (подія А – випадання герба, ), послідовні підкидання грального кубика (подія А – випадання 5 очок, ). Дану задачу можна розв’язати з допомогою теорем додавання і множення ймовірностей, але це призводить до дуже громіздких обчислень. Тому виникає необхідність застосування простіших методів розрахунку. Одним з таких методів є формула Бернуллі. Нехай в однакових умовах проводиться n випробувань, результатом кожного з них подія А може відбутися з ймовірністю , або ж з ймовірністю . Позначимо через появу події А в і-му випробуванні. Тоді: , Нас цікавить ймовірність того, що подія А при n випробуваннях відбудеться m раз, а в решті n-m випробуваннях відбудеться подія (подія А не відбудеться). Так як подія А в n випробуваннях може появитись m раз в різних послідовностях або комбінаціях, то число таких комбінацій є . Наприклад, така сполука (позначимо її подіїю В) є: коли подія А відбулася m раз підряд, починаючи з першого випробування. Знайдемо її ймовірність: Так як всі комбінації події, аналогічні комбінації В, є подіями несумісними і нам байдуже, в якій саме послідовності з’явиться подія А та , то, застосовуючи теорему додавання ймовірностей для несумісних подій, отримаємо: . (1) Формула (1) носить назву формули Бернуллі і має важливе значення в теорії ймовірності, бо вона зв’язана з повторенням випробувань в однакових умовах, тобто з такими умовами, в яких якраз і проявляються закони теорії ймовірності. Набір чисел називається біномним розподілом, а саму формулу (1) називають біномною, оскільки її права частина є загальним членом розкладу бінома Ньютона . Зауважимо, що події є попарно несумісні, тому тобто Приклад 1. Податкова адміністрація виявила, що 40% декларацій про доходи осіб – платників податку – містить принаймі одну похибку. Яка ймовірність того, що з 10 наугад відібраних декларацій, 4 буде з похибкою? Рішення. Ймовірність, що декларація має похибку а . Тоді: Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |