|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Числові характеристики випадкових величин
Відомо, що закон розподілу повністю характеризує випадкову величину з ймовірносної точки зору. Знаючи закон розподілу випадкової величини, можна вказати, де розміщуються можливі значення випадкової величини і яка ймовірність появи її в тому чи іншому інтервалі. Проте при розв’язанні багатьох задач нема необхідності характеризувати випадкову величину повністю, а досить мати про неї тільки деяке загальне уявлення. Часто буває досить вказати не весь закон розподілу, а лише його деякі характерні риси. В теорії ймовірностей для загальної характеристики випадкових величин використовуються деякі величини, що носять назву числових характеристик випадкової величини. Основне їх призначення – в стислій формі виразити найбільш суттєві особливості того чи іншого розподілу. Про кожну випадкову величину необхідно перш за все знати її деяке середнє значення, біля якого групуються всеможливі значення випадкової величини, а також яке-небуть число, що характеризує ступінь розкидання (розсіювання) цих значень відносно середнього. Крім вказаних числових характеристик, для більш повного опису випадкової величини використовують і ряд інших характеристик. Всі вони допомагають в певній мірі вияснити характерні риси розподілу випадкової величини. Розглянемо найбільш часто вживані числові характеристики. 1. Математичне сподівання. Математичне сподівання є важливою характеристикою розміщення випадкової величини, його часто називають просто середнім значенням випадкової величини. Розглянемо спочатку дискретну випадкову величину Х, що має всеможливі значення х1, х2, …хn з ймовірностями р1, р2,, …рn. Тоді математичне сподівання випадкової величини Х, яке позначають визначається рівністю: . (1) Якщо дискретна випадкова величина Х приймає нескінченну зліченну множину значень х1, х2, …хn… з ймовірностями р1, р2,, …рn…, то її математичне сподівання є: . (2) Отже, математичним сподіванням випадкової величини Х називається сума добутків всіх можливих значень випадкової величини на ймовірності цих значень. Надалі поряд з позначенням будемо використовувати позначення математичного сподівання через : . Нижче буде показано, що математичне сподівання наближено рівне середньому арифметичному спостережуваних значень випадкової величини, і тим точніше, чим більше число спостережень. Розглянемо приклад, який з’ясовує доцільність прийнятого означення математичного сподівання. Приклад1. Для розіграшу лотереї було випущено білетів, з них з виграшем грн., білетів з виграшем грн., … білетів з виграшем грн. . Яка ціна білета, якщо сума грошей, виручених від продажу білетів, дорівнює сумі усіх виграшів? Рішення. Якщо позначити шукану ціну білета через , то за умовою: , звідки , тобто ціна одного білета дорівнює “середньому виграшу”. Останню формулу можна записати й інакше. Покладемо , очевидно, - це ймовірність того, що на вибраний наугад білет, випаде виграш грн. Тоді ця формула запишеться так: . Розглянемо тепер неперервну випадкову величину Х, значення якої належать відрізку . Нехай є щільністю розподілу величини Х. Розбиваємо відрізок на частинних відрізків довжиною . Візьмемо в кожному з таких відрізків по точці . Так як добуток наближено рівний ймовірності попадання випадкової величини на відрізок , то сума добутків , (3) складена по аналогії з означенням математичного сподівання для дискретної випадкової величини, наближено рівна математичному сподіванню неперервної випадкової величини . Якщо перейти до границі в сумі (3) при , отримаємо означений інтеграл, який і беруть за означенням рівним математичному сподіванню випадкової величини . Якщо значення неперервної випадкової величини належать всій числовій осі, то математичне сподівання визначається інтегралом . (5) Приклад 2. Неперервна випадкова величина задана густиною (щільністю) розподілу: Знайти значення параметра та математичне сподівання випадкової величини . Рішення. Параметр знайдемо, користуючись властивістю 4 густини з §1. . Відмітимо найпростіші властивості математичного сподівання. Властивість 1. Математичне сподівання постійної величини рівне самій постійній, тобто . Доведення. Сталу можна розглядати як дискретну випадкову величину, що набуває лише одне значення з ймовірністю 1. Тому . Властивість 2. Сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання: . Доведення. Для дискретної випадкової величини маємо: , для неперервної: . Властивість 3. Математичне сподівання об’єднання двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань . Наслідок 1. Математичне сподівання об’єднання скінченного числа випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань: . Властивість 4. Математичне сподівання перетину двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |