ХІД ЗАНЯТТЯ. Нехай дано скалярне поле u=u (х; у; z)

І. Розв`язування вправ

Нехай дано скалярне поле u=u (х; у; z).

Означення. Градієнтом функції u (х; у; z) називається вектор, координатами якого є значення частинних похідних функції u.

grad u (х; у; z) =

Напрям градієнта в кожній точці поля збігається з напрямом нормалі до поверхні рівня, що проходить через цю точку.

u=c

grad u

Похідна в напрямі градієнта має найбільше значення. При цьому поле в напрямі градієнта зростає з максимальною швидкістю, а у напрямі, протилежному до напряму градієнта, найшвидше спадає.

Максимальну швидкість зміни поля можна обчислити за формулою:

max =

u= grad u

Властивості градієнта:

1) grad (u+v)= grad u + grad v

2) grad (c ) = grad u

3) grad ()= u grad v +v grad u

4) grad

Приклад: 1. Знайти grad u в точці М (-1; 2; -2), якщо u =

1. Знайти найбільшу швидкість зростання поля.

2. В якому напрямі функція u спадає найшвидше?

Приклад: 2. Знайти градієнт функції в довільній точці

Приклад: 3. Знайти похідну функції в точці за напрямом вектора

Поиск по сайту: