Приложение 2. Статистические методы, примеры их применения для принятия решения Первый тип задач

Статистические методы, примеры их применения
для принятия решения
Первый тип задач

Допустим, что школьному психологу нужно представить краткую информацию о развитии психомоторных функций учащихся шестых классов. В этих классах обучается 50 учеников. В процессе выполнения своей программы психолог провел диагностическое изучение двигательной скорости, применив ранее описанную методику (описание дано на первой странице данного раздела).
для реализации своей программы психологу надлежало получить количественные характеристики, свидетельствующие о состоянии изучаемой функции — ее центральной тенденции, величины, показывающей размах колебания, в пределах которого находятся данные отдельных учеников, и то, как распределяются эти данные. Какими методами вести обработку, зависит от того, в какой статистической шкале измерены значения исследуемого признака. Визуальное ознакомление с полученными данными показывает, что, возможно, вычислен не среднего арифметического, выражающего центральную тенденцию, и среднеквадратического отклонения, показывающего размах и особенности варьирования экспериментальных результатов.
Нельзя ограничиться вычислением только среднего арифметического, так как оно ведает полных сведений об изучаемой выборке.
Вот пример.
В одном купе вагона поместилась бабушка 60 лет с четырьмя внуками: один —4 лет, двое — по 5 лет и один —6 лет. Среднее арифметическое возраста всех пассажиров этого купе 80/5 = 16.
В другом куле расположилась компания молодежи: двое — 15-летних, один — 16-летний и двое — 17-летних, Средний возраст пассажиров этого купе также равен 80/5 = 16. Таким образом, по средним арифметическим пассажиры этих купе как бы и не отличаются. Но если обратиться к особенностям варьирования, то сразу можно установить, что в одном купе возраст пассажиров Варьируется в пределах 56 единиц, а во втором — в пределах 2.
для вычисления среднего арифметического применяется формула:

х8 = Ех\п,

В этих формулах х означает среднее арифметическое, х8 — каждую величину изучаемого ряда, означает сумму; о означает среднеквадратическое отклонение; буквой п обозначают число членов изучаемого ряда.

Ниже представлен весь ход его обработки.

В опытах участвовало 50 испытуемых. Каждый из них выполнил 25 проб по 1 мин каждая. Вычислено среднее для каждого испытуемого. Полученный ряд упорядочен, и все индивидуальные результаты представлены в последовательности от меньшего к большему.
85 -93- 93-1О1-1О5-1О9-111-115-115-116-116—117—117—
117—118—119-121-121-122-121-124-124-124-125-125-127-127-127
127-127-127-128-13О-131-1З2-132-133-133-1З5
143-144-146-150-158.
Для удобства дальнейшей обработки эти первичные данные соединены в группы. Благодаря группировке отчетливее выступает присущее данному ряду распределение величин и их численностей. Отчасти упрощается и вычисление среднего арифметического и среднего квадратического отклонения. Этим компенсируется количественное искажение информации. неизбежное при вычислениях на сгруппированных данных.
При выборе группового интервала следует принять во внимание такие соображения. Если ряд не очень велик, например содержит до 100 элементов, то и ЧИСЛО группе не должно быть очень велико, например порядка 8—12. Желательна чтобы при группировании начальная величина — при соблюдении последовательности от меньшей величины к большей — была меньше самой меньшей величины ряда, а самая большая — больше самой большой величины изучаемого ряда. Если ряд, как в данном случае, начинается с 85, группирование нужно начать с меньшей величины, а поскольку ряд завершается числом 158, то и группирование должно завершаться большей величиной. В ряду, который нами изучается, с учетом высказанных соображений можно выбрать групповой интервал,9 единиц и произвести разбивку ряда на группы начав С 83. Тогда последняя группа будет завершаться величиной, превышающей значение последней величины ряда (т. е. 159). Число групп будет равно 9. В табл. 1 представлены группы в их последовательности и все другие величины для вычисления среднего арифметического и средне квадратического отклонения. Таблица состоит из 8 столбцов.
1-й столбец — группы, полученные после разбиения изучаемого ряда.
2-й столбец — средние значения интервалов по каждой группе.
3-й столбец показывает результаты *ручной* разноски величин ряда или иксов (каждая величина занесена в соответствующую ее значению группу в виде черточки).
4-й столбец — итог подсчета результатов разности.
5-й столбец — произведения величин 2-го столбца на величины 4-го столбца по строчкам. Итоги 4-го и 5-го столбцов дают суммы, необходимые для вычисления среднего арифметического.

х8 = 50; Ег*х = 6150; Ег*(х - х8)*2 = 10368

6-й столбец показывает построчные разности между значениями х
2-го столбца и средним арифметическим.
7-й столбец — квадрат этих разностей.
8-й столбец показывает построчные произведения значений 4-го и 7-го столбцов. Суммирование величин этого столбца дает итог, необходимый для вычисления среднеквадратического отклонения.
Включение буквы, означающей, насколько часто встречалась та или другая величина, ничего не изменяет в формулах среднего арифметического и среднеквадратического отклонения. Поэтому формулы

х8 = Ех/п = Ег*х/п

Остается показать, как вычисляются по формулам среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение. Обратимся к величинам, полученным в табл. 1:
х = 6150/50 = 123
При составлении табл. 1 это число было заранее вычислено, без него нельзя было бы получить числовые значения 6, 7 и 8-го столбцов таблицы.

При обработке изучаемого ряда оказалось возможным применение параметрического метода; визуально можно заметить, что распределение численностей приближается к нормальному.
Нормальное распределение обладает некоторыми весьма полезными для исследователя свойствами. Так, в границах 5Е а находится примерно 68% всего ряда или всей выборки. В границах ё 2а находится примерно 95%, а в границах 5с За—99,7% выборки. В практике исследований часто берут границы ё 2/Зо. В этих границах при нормальном распределении будут находиться 50% выборки; распределение это симметрично, поэтому 25% окажутся ниже, а 25% выше границ 5ё 2/Зо. Все эти расчеты не требуют никакой дополнительной проверки при условии, что изучаемый ряд имеет нормальное распределение, а число элементов в нем велико, порядка нескольких сотен или тысяч.
Для рассматриваемого примера необходимо также вычислить коэффициент вариации по формуле:

v = j|x*100%

В примере, который был рассмотрен выше,

v = 14,4/123*199% = 11, 7

Выполнив все эти вычисления, психолог может представить информацию об изучении двигательной скорости с помощью примененной методики в шестых классах. Согласно результатам изучения в шестых классах, получены:

среднее арифметическое — 123;
среднеквадратическое отклонение — 14,4;
коэффициент вариации — 11,7%.
Если значения изучаемого признака измерены в порядковой шкале, то в качестве меры центральной тенденции выступает медиана, а характеристикой диапазона варьирования выступает среднее квартильное отклонение.
Вот пример.
После проведения диагностических испытаний уровня умственного развития, учеников шестого класса все полученные данные были упорядочены, т. е. расположены в последовательности от меньшей величины к большей. Испытания проходили 18 учащихся, Буквами обозначены учащиеся, числами — полученные ими баллы по тесту, столбцы под буквами Я — ранги (табл. 2).
Процедура ранжирования состоит в следующем. Все числа ряда них последовательности получают по своим порядковым местам присваиваемые им ранги. Если какие-нибудь числа повторяются, то всем повторяющимся числам присваивается один и тот же ранг — средний из общей суммы занятых этими числами мест. Так, числу 28» в изучаемом ряду присвоен ранг. Затем следуют трижды повторяющиеся числа 39. На них приходятся занятые ими ранговые места 3,4,5, поэтому, этим числам присваивается один и тот же средний ранг, в данном случае — поскольку места до 5 включительно заняты, то следующее число получает ранг и т. д.
Таблица 2
Ранжирование результатов

При обработке ряда, не имеющего признаков нормального распределения, иначе — непараметрического ряда, — для величины, которая выражала бы его центральную тенденцию, более всего пригодна медиана, т. е. величина, расположенная в середине ряда. Ее определяют по срединному рангу по формуле.

Медиана ряда определяется по ранговой медиане:

Меr = (n + 1)|2

где т — число членов ряда.
Возьмем, к примеру, ряд в семь членов:
3--5—6—7—9—10-11.
Проранжировав этот ряд, имеем:
1—2—3—4—5—6—7.
Ранговая медиана
Мек = 4
дает медиану рассматриваемого ряда Ме=7.
Возьмем ряд в восемь членов:
3-5-6-7—9—10—11-12.
Прораижировав этот ряд, имеем:
1-2--3-4—5—6—78.
Ранговая медиана в этом ряду равна:

Меr = 4,5.

Этому рангу соответствует середина между двумя величинами, имеющими ранг 4 и ранг 5, т. е. между 7 и 9. Медиана этого ряда равна:
Ме = (7+9)\2= 8.
Следует обратить внимание на то, что величины 8 в составе ряда нет, но таково значение медианы этого ряда.
Вернемся к изучаемомe ряду. Он состоит из 18 членов. Его ранговая медиана равна:
Меr = 9,5
Она расположится между 9-й и 10-й величиной ряда. 9-я величина ряда — 52, 10-я величина ряда — 68. Медиана занимает срединное место между этими величинами, следовательно:
Ме = (52+68) \ 2 = 60

По обе стороны от этой величины находится по 50% величин ряда. Характеристику распределения численностей в непараметрическом ряду можно получить из отношения его квартилей. Квартилью называется величина, отграничивающая 1/4 всех величин ряда. Квартиль первая — ее обозначение — вычисляется по формуле:

Q1 = (R1 + Rn\2лев)\2
Это полусумма первого и последнего рангов первой, левой от медианы половины ряда; квартиль третья, обозначаемая, вычисляется по формуле:
Q3 = (Rn\2 + Rn\2прав)\2

т. е. как полусумма первого и последнего рангов второй, правой от медианы половины ряда. Берутся порядковые значения рангов по их последовательности в ряду. В обрабатываемом ряду
Q1 = 10\2 = 5; Q3 = 28\2 = 14
Рангу 5 в этом ряду соответствует величина 39, а рангу 14 — величина 70.
Для характеристики распределения в непараметрическом ряду вычисляется среднее квартильное отклонение, обозначаемое.
Формула для Q такова:

Q = (Q3-Q1)\2

В обрабатываемом ряду 70, а 39, следовательно:

Q = (70 - 39)\2 = 15,5.

Были рассмотрены статистическая обработка параметрического ряда (5 и о) и статистическая обработка непараметрического ряда (Ме и Q)/ Параметрический ряд относится к шкале интервалов, непараметрический — к шкале порядка. Но встречаются также ряды, относящиеся к шкале наименований. Наиболее краткая, но малоинформативная характеристика такого ряда может быть получена с помощью моды — величины в ряду, имеющей наибольшую численность из числа п — членов ряда. следует заметить, что моду можно лишь условно считать выражением центральной тен денции в ряду, относящемуся к шкале наименований. Она выражает наиболее типичную величину ряда.
рассмотрим примера где речь идет об участниКал некой конференции; в их числе З англичанина, 2 датчанина, 5 немцев, и. русский и 2 француза. Мода в данном ряду приходится на участников конференции — немцев. Число членов ряда — 13, а мода м05.
Второй тип задач
Предположим, что проведены диагностические испытания умственного развития у школьников шестых классов городской и сельской щкол можно ли в дальнейшем рассматривать обе школьные выборки как принадлежашие одной совокупности? По поводу неодинаковых условий обучения в городской и сельской школах высказано немало противоречивых суждений. Психолог в данном случае намерен опираться на экспериментальные факты. Чтобы прийти к какому-то решению, целесообразно проанализировать полученный экспериментальный материал. Это достаточно часто встречающаяся задача, но есть и также, где приходится отвечать на тот же вопрос относительно нескольких, а не двух выборок. Именно в таком случае мы имеем дело с задачей второго типа.
Перед психологом два ряда численностей. Положим, что оба ряда имеют распределение близкое к нормальному. Сравнение величин центральных тенденций — в данном случае их представляют средние арифметические — не даст ответа на вопрос о том относятся ли выборки к одной совокупности. Почти безошибочно можно утверждать. что средние арифметические не будут тождественными, но Этого явно недостаточно для ответа на поставленный вопрос, ответ не будет получен, даже если средние арифметические окажутся равными для данного случая более всего подходит сравнение выборок по критерию Стьюдента.
Перед тем как ознакомится с техникой вычислений и интерпретацией результатов получаемых при работе с критерием Стьюдента. Необходимо остановиться на некоторых статистических терминах, они постоянно встречаются в прикладной статистике.
В том разделе статистики, где заходит речь о проверке гипотез, постоянно приходится иметь дело с нуль-гипотезой или нулевой гипотезой. При сравнении двух выборок гипотеза формулируется следующим образом: между изучаемыми выборками нет различия или, иначе, различие между ними несущественно. Все дальнейшие расчеты направлены на то, чтобы прийти к заключению: верна ли гипотеза или от нее нужно отказаться, и в действительности существенная разница между выборками имеется. В других случаях, в зависимости от содержания.

число степеней свободы (1 — п1 + п2 — 2 =10
По таблице уровней значимости Ё-распределения Стьюдента (см. Приложение З, табл. 1) находим при 10 степенях свободы — 2,228.
Существенность различия не доказана, хотя полученное значение
— 1,9 близко к требуемому уровню. Принимается Н0.
Нельзя утверждать, что выборки существенно отличаются одна от другой. для вычисления существует несколько формул, различающихся только техникой расчетов.
Нужно заметить, что сравниваемые выборки могут быть неодинаковыми по объему. Применять параметрические методы можно лишь к материалу, обладающему определенными свойствами, о которых говорилось ранее. В других случаях следует обращаться к непараметрическим методам.
Ниже будет рассмотрена техника применения критерия Манна— Уитни, непараметрического метода, часто используемого в психологических исследованиях.
Предположим, что психологу нужно решить такую задачу: есть ли различия между выборками школьников одного итого же класса; одна выборка включает школьников, которые до контрольной работы проходили дополнительное обучение по коррекционным программам, другая — школьников, такого обучения не проходивших. Обе выборки малы, поэтому для проверки гипотез о существовании различия между выборками следует взять мощный критерий; мощность критерия — это вероятность принятия при его применении правильного решения для отклонения Н0 чем выше эта вероятность, тем больше мощность критерия. Мощность любого критерия увеличивается вместе с увеличением объема сравниваемых выборок, а таюке со снижением того уровня значимости, на который ориентируется исследователь. Другими словами, если выборки велики, то принятие правильного решения относительно Н0 увеличивается. Ориентация на высокий уровень значимости, например 0,99 или 0,999, предполагает применение достаточно мощного критерия. В рассматриваемом примере выборки малы, а при установлении существенной разницы между ними, т. е. при отказе от Н0, желательно, чтобы уровень значимости был как можно выше, но не ниже 0,95.
Формула вычисления критерия Манна-Уитми такова:
U1= n1*n2 + (n1(n1+ 1))\2 - R1 и U2 = n1*n2 + (n2(n2 + 1))\2 - R2

В примере сравнению подлежат результаты контрольной работы выборки А, состоящей из четырех школьников, проходивших обучение по коррекционным программам, и выборки Б, состоящей из семи школьников, никакого коррекционного обучения не проходивших (см. табл. 5 и б). Последовательность действий, предусматриваемых вычислением всех нужных для решения задачи величин, такова:
• выписать в любом порядке число успешно решенных заданий школьниками сначала выборки А, затем выборки Б;
• проранжировать число успешно решенных заданий, объединив обе выборки;
• найти сумму рангов выборок А и Б раздельно. Эти три действия дадут все необходимые для вычисления критерия данные.
Таблица 5
Выборка А (4 чел.)

для проверки расчетов вычисляется:

R1 + R2 = N\2 (1 + N) = 37 + 29 = 11 \ 2(1 + 11), т.е. 66 = 66

Имея величины 13, и следует обратиться к таблице уровней значимости (см. Приложение З, табл. 2). На совмещении строки четвертой со столбцом седьмым находим 3/25. По условиям таблицы 11, должно быть меньше верхней, а — больше нижней величины. Полученные величины показывают, то но отвергается. Можно считать, что между выборками есть существенное отличие: результаты работы свидетельствуют о преимуществе выборки А.
Попарные сравнения. В предыдущем материале исследователь имел дело с двумя выборками. В обработку они поступают как два ряда чисел; каждый ряд есть результат экспериментов, проведенных с данной выборкой. Однако часто приходится встречаться с материалом, в котором даны два числовых ряда, но оба они получены на одной Выборке; сюда относятся исследования, когда эксперименты проводятся до и после какого-то специального воздействия. Цель такого исследования состоит в том, чтобы установить, есть ли достаточно существенные изменения и можно ли утверждать, что специальное воздействие имело существенное значение.
Например, психологу было предложено ответить на такой вопрос: влияют ли занятия физкультурой на общее самочувствие занимающихся школьников? Исследование он построил так: школьников просили отмечать на линейной шкале свое самочувствие до занятий физкультурой и после них.
Статистической обработке подлежат попарные сравнения-показания одного и того же испытуемого до и после воздействия. Ниже приводится табл. 7 с результатами показаний школьников о самочувствии. Нуль-гипотеза формулируется так: сравнение рядов до и после воздействия не дает оснований утверждать, что по измеряемому признаку произошли существенные изменения.
Выборка, подвергнутая изучению, состояла из восьми человек.
Начнем с параметрического метода. Будет применен т-критерий Стьюдента, его формула для попарного сравнения такова

t = x8[n\ s

Нужно вычислить все величины, входящие в формулу. для получения 5 используется формула
S2 = (x2 - (Ex2)*2 \ n)\ n

Извлекая корень из полученной величины, узнаем значение З. Остается произвести по формуле все вычисления.
Ряды, полученные в эксперименте:
Числа заимствованы из книги: Бейли Н. Статистические методы в биологии. — М., 1964.

Таблица 7
Вычисление попарных сравнений по t - критерию Стьюдента

При вычислении при попарном сравнении число степеней свободы равно п—1. В данном случае п8, следовательно, число степеней свободы 8—1 =7. По таблице уровней значимости находим, что для семи степеней свободы = 0,95 должно быть не менее 2,36. Поскольку получена большая величина, следует признать, что налицо статистически значимое влияние занятий физкультурой на самоч’iiвствие школьников.
Из непараметрических методов для попарного сравнения удобен для пользования критерий уилкоксона, правда, на весьма небольших выборках этот критерий оказывается недостаточно мощным; его лучше применять на выборках объемом 12 и более элементов.
Небольшие по объему выборки, однако, удобны для наглядного по-
- следовательного изложения техники расчетов.
Для использования ЭТОГО критерия (его называют также знаковоранговым) следует проранжировать. сначала не обращая внимания на знаки, весь перечень разностей между рядами ‚после*’ и до*. Если разность у отдельных испытуемых и в отдельных случаях нулевая, то эта разность из ранжирования исключается и не входит в суммирование рангов. В этом примере таких разностей (равных нулю) не встречается.
Далее нужно просуммирована’ раздельно ранги разности С положительным знаком и ранги разностей с отрицательным знаком (табл. 8). Значение критерия равно меньшей по абсолютной величине сумме рангов

Обратимся к примеру, в котором шла речь о влиянии уроков физкультуры.
В этом примере значение критерия равно 3,5,
Таблица В
Вычисления попарных сравнений по Уилкоксону
Ряд разностей +0,6 +2,7 +0,8 +2,3 +1,2 +1,9
Н, Ранги 2,5 2,5 8 4 1 7 5 6
Подчеркнуты ранги разностей с отрицательными значениями.
Но прежде чем отыскивать уровень значимости, нужно обратить внимание на то, что в данном случае критерий Уилкоксона — это двусторонний критерий. Как это понимать? Различают односторонние и двусторонние критерии. Отвергая нуль-гипотезу, выдвигают альтернативную ей гипотезу. При этом возникает вопрос: в какую сторону направлено отличие альтернативной гипотезы от Н0 — в положительную или отрицательную? Если исследование предполагает равно возможными и ту и другую направленность, то следует принять двусторонний критерий. Возможна вместе с тем такая постановка исследования, когда учитывается лишь одна направленность результатов. Так, сравнивая две выборки учащихся по освоению ими научных (химических) понятий, исследователь ставит ограниченную задачу — рассмотреть только возможность преобладания в этом освоении одной выборки над другой. В этом исследовании применим односторонний критерий.
При описании статистических методов всегда указывается, какого рода критерий подлежит применению — односторонний или двусторонний. В таблицах уровней значимости обычно значения для одностороннего и двустороннего критериев даются либо в особых столбцах, либо в таблице указывается, какому значению одностороннего критерия соответствует значение двустороннего, и наоборот.
Возвращаясь к рассматриваемому примеру, следует признать, что для него при обработке с помощью критерия Уилкоксона применим двусторонний критерий: различия между показателями *после. и до в одних строках положительные, в других отрицательные, учитываются те и другие.
В таблице уровней значимости для этого критерия (см. Приложение З, табл. З), имея в виду, что критерий двусторонний, находим, что для уровня значимости 0,95 значение его должно быть не более 3. Поскольку получено значение 3,5, Н0 не следует отклонять.
Следовательно, Ё-критерий Стьюдента свидетельствует о том, что Н0 подлежит отклонению, а критерий Уилкоксона свидетельствует о том, что нуль-гипотезу отвергать не следует, Такого рода расхождения, особенно при работе с небольшими выборками, вполне возможны. То, что критерий Уилкоксона всего на 0,5 превысил установлен-

ней уровень значимости, вероятнее всего, говорит о том, ЧТО при увеличение выборки в 1,5 или 2 раза критерий также окажется значимым. В параграфе, где пойдет речь о планировании эксперимента, еще предстоит рассмотреть вопрос об объеме выборок.
Сравнение несколъко выборок по уилкоксону. Иногда исследователю приходит сравнивать между собой не две, а несколько выборок:
три, четыре и более. В таких случаях следует обратиться к простому и достаточно мощному непараметричному критерию, представляющему собой модификацию критерия уилкоксона. Метод позволяет сравнивать между собой выборку с любой другой — вторую с третьей первую с четвертой и т. д. Нужно, чтобы выборки были равными по численности.
допустим, что учащимся восьмых классов четырех различных школ был предложен тест умственного развития. в школах использовались различные методы обучения и воспитания умственное развитие как можно полагать, формировалось в каждой выборке в особых условиях. Эти условия и могли быть причиной различий между выборками.
В табл. 9 приводятся полученные в этом исследовании результаты.
Таблица 9
данные сравнения нескольких выборок по УИЛКОКСОНУ

Объединим все результаты по всем четырем школам в один ряд и проранжируем этот ряд. для этого расположим ряд в порядке его возрастания и перенесем полученные ранги в табл. 10.

Таблица 10
Объединенные ранговые показатели

Далее суммы рангов по выборкам размещаются в матрице (табл. 11).

Таблица 11 Ма трица суммы ранга.

На пересечении строк и столбцов указываются разности, показывающие, насколько отличается сумма рангов каждой выборки от суммы рангов других выборок.
По таблице (см. Приложение 3, табл. 4) устанавливается, что при п = 10 (учитывается объем отдельной выборки) и при четырех условиях достигают уровня значимости 0,95 — величина 134 и более, а уровня значимости 0,99 — величина 163 и более. Следовательно, существенное статистически значимое различие имеется между 1-й и 4-й выборками и между 2-й и 4-й выборками; в последнем случае на уровне 0,99.

Корреляции
В одном из примеров сравнивались два ряда чисел, представляющих два ряда показателей одной и той же выборки; по смыслу задачи нужно было установить, имеется ли существенная разница между этими рядами. Это были ряды, взятые из ситуации после и до, однако, и многочисленные ситуации, когда исследователь заинтересован не в том, чтобы найти степень существенности разницы между рядами чисел, а в том, чтобы найти, насколько тесно эти ряды связаны между собой, какова направленность этой связи. Так, группе школьников были предложены два теста, задания которых были построены на материале школьных дисциплины гуманитарного класса.
Перейдем, к примеру, исследовалась выборка школьников объемом 15 человек, для вычисления коэффициента корреляции раскрывающего тесность связи между двумя рядами используются как параметрические, так и непараметрические методы.
Полезно до перехода к расчетам рассмотреть коррелируемые ряда в их размещении в корреляционной решетке. По оси абсцисс размещаются показатели одного, а по оси ординат — другого ряда.
Тесность связи между рядами благодаря этой решетке становится легко обозримой.
Коэффициент корреляции принимает значение от —1 до +1. В этих пределах ВОЗМОЖНЫ все числовые значения коэффициента корреляции. Если никакой СВЯЗИ между рядами не существует, ТО коэффициент равен 0. В подавляющем большинстве случаев коэффициент имеет значение, не достигающее 1. При положительной корреляции при увеличении ЧИСЛОВЫХ значений ОДНОГО ряда соответственно увеличиваются число- вые значения другого ряда.
Вычисление коэффициента корреляции применяется по Пирсону
Если исследователь убежден в том, что оба коррелируемых ряда можно рассматривать как ряды параметрические то для вычисления коэффициента корреляции применяется параметрический метод по формуле Пирсона:

r = E (x - x*) *E (y - y*)\ E (x-x*)*2 * E (y-y*)*2

Имеется много различных видов этой формулы, представляющих собой ее преобразования. Исследователь сам выбирает удобную для себя формулу. Об уровне значимости коэффициента корреляции судят по таблице (см. Приложение 3, табл. 5), причем для г число степеней свободы — п —2, где п — объем выборки.
Коэффициент показывает тесность связи между выполнением задач теста *Аналогии и теста *Классификации*. данные по тесту *Аналогии* обозначены 4Х, а по тесту *Классификации (табл. 12).
для упрощения расчетов введены некоторые тождества: Исследовательское задание указано на предшествующей странице.

Таблица 12
Вычисление коэффициента корреляции по Пирсону

где — разность рангов ряда х и ряда у (К, — К),

Используем эти тождества в вычислениях.
Число степеней свободы 1п—2 15—2— 13. По таблице уровней значимости находим, что при 13 степенях свободы г 0 0,760 0,96.
Полученный коэффициент корреляции показывает, что между результат И по тесту аналогии и по тесту классификации имеется связь. Высокий уровень значимости свидетельствует том, что эта связь с высокой вероятностью будет воспроизводиться в таких же экспериментах.

Таблица 13
Вычисление ранговой корреляции по Спирмену

Полезно знать, что коэффициент хи-квадрат и коэффициент четырехпольной корреляции взаимосвязаны, и поскольку известны численность и распределение сопоставляемых выборок, указанные коэффициенты могут быть определены один через другой.
Как показывает само название этого метода, числовой материал, подлежащий статистическому анализу, может быть распределен в таблице- графике, имеющей четыре поля (табл. 15). Такое расположение материала облегчает все последующие действия с ним. Чтобы рассмотреть технику вычисления коэффициента четырехпольной корреляции — 1 он обозначается символом <р (фи), — можно воспользоваться примером, в котором речь шла о вычислении коэффициента х2.
Выпускники двух школ сравнивались между собой по подготовленности
к вузовским экзаменам.
Таблица 15
Вычисление коэффициента четырехпольной корреляции

Заменив буквенные обозначения числами, получим:

ф = 0,33.

для получения коэффициента х2 нужно воспользоваться формулой:
х2 = р2хп. В данном примере х2= 0,332х1 87 = 20,36. Этот же коэффициент х2 вычислялся в другом примере, где получено значение 21,9. Расхождение вызвано разницей в технике вычислений.
Коэффициент четырехпольной корреляции р может принимать значения от Одо 1.
Психологу, намеренному воспользоваться для статистического анализа своих материалов методом хи-квадрат, нужно знать о некоторых обязательных требованиях этого метода (о них не упоминалось в приведенных примерах).
При вычислении коэффициента х2 необходимо брать для анализа только абсолютные численности выборок, но ве относительные, в частности не проценты. Необходимость учитывать это свойство объясняется тем, что значение коэффициента х2 зависит от абсолютных величин рассматриваемых распределений Так, сравнение выборок с численностями 60 и 40 даст совершенно не тот результат, что сравнение выборок с численностями 6 и 4, хотя процентное отношение распределений в обоих случаях одинаково (60 и 40%).
Далее, для вычисления коэффициента Х нужно’ чтобы в каждой клетке было не менее пяти наблюдений. Наконец, нужно с вниманием к определению числа степеней свободы; неверное определение этого числа повлечет за собой неверное определение уровня значимости коэффициента по таблице.
Итак, рассмотрение конкретного приложения статистических методов, Относящихся ко второму типу задач, позволяет сделать некоторые обобщения.
1. В этих задачах независимо от того, будут ли они практического или теоретического содержания психолог сопоставляет, сравнивает между собой несколько выборок. При этом не следует забывать, что цель исследования не всегда состоит в том, чтобы при сопоставлении отвергнуть нуль-гипотезу. Иногда конечная или промежуточная цель исследования состоит в том, чтобы, допустим, сравнивая выборки, подтвердить нуль-гипотезу. Самый простой пример: исследовать желает составить большую выборку, для чего необходимо объединить в ней учащихся нескольких школ.
2. Естественно, решающее значение имеет доказательство того, что группы из разных ШКОЛ относятся к одной совокупности нужно, чтобы примененные критерии подтвердили ЭТО. Значит, статистика должна подтвердить при сравнении групп, или отвергнуть нуль-гипотезу при сопоставлении выборок — в этом и состоит назначение статистических критериев; наиболее простые из них были изложены в предшествующем тексте.

Конечно, информация, которую выявят статистические методы, может вступить в противоречие с утверждениями которые намерен защищать исследователь. В таком случае ему придется внести поправки в свои утверждения или отказаться от них.
Третий тип задач
К этому типу относятся задачи, в которых рассматриваются динамические, временные ряды.

Предположим, что психологу дано задание дать информацию о состоянии умственной работоспособности школьников 8 классов, начиная со второй недели учебного года и до девятой недели включительно.

Одной из методик, с помощью которых можно фиксировать состояние умственной работоспособности, считается тест Крепелина — он состоит из большого количества примеров, в каждом из них нужно складывать два двузначных числа; учитывается общее число правильно решенных примеров. Каждые З мин испытуемые по сигналу экспериментатора отмечают черточкой сделанное. Общая длительность эксперимента в зависимости от возраста составит 9, 12 или 15 мин. Этой методикой и воспользовался психолог. Он начал с того, что сформировал из учащихся, средние успехи которых оценивались за предыдущее полугодие баллами 4 и 5, выборку из 10 человек. Все они изъявили желание участвовать в эксперименте. С этими учащимися психолог в течение первой недели учебного года провел по 12 тренировочных занятий; это было необходимо, иначе рост продуктивности вследствие упражняемости замаскировал бы изменения в динамике работоспособности. Затем начался эксперимент: по субботам после уроков учащиеся этой выборки в течение 12 мин работали с тестом Крепелина. Эксперимент, как было сказано, продолжался восемь недель. Были получены следующие данные, средние по всей выборке (табл. 16).
Визуальная оценка полученного динамического ряда свидетельствует о снижении умственной работоспособности, в чем, конечно, нет ничего удивительного. Однако снижение идет не вполне равномерно.

Таблица 16Динамический ряд по тесту Крепелина

Основная тенденция изменения умственной работоспособности вполне ясна: наблюдаемые, в общем незначительные отклонения от этой тенденции могут быть устранены методом сглаживания. В этом случае применим метод скользящей средней. Для сглаживания суммируются три показателя у в данном примере это показатели продуктивности по тесту, — далее, опускал по одному показателю, суммируются одна за другой триады. Средняя каждой триады принимается за показатель сглаженной ломаной, если ориентироваться по графику. Смысл проводимого действия состоит в том, что основная тенденция динамики умственной работоспособности выступает более отчетливо.
Судя по показателям, полученным после сглаживания, в течение первых трех экспериментальных недель значительного снижения работоспособности не наблюдается, а далее идет непрерывное и резкое ее снижение. Сглаживание устранило колебания в работоспособности, отмеченные после УII недели. При сглаживании по триадам общее число точек уменьшается на 2.

Какое значение имеет выделение посредством сглаживания основной тенденции?
Если условия, благодаря которым возникла основная тенденция, сохранятся, то и эта тенденция с высокой вероятностью сохранится и, таким образом, по основной тенденции может быть построен прогноз, как будут развиваться изучаемые явления в будущем. Но такой прогноз возможен ТОЛЬКО при стабильности действий определенных условий. Для его построения нужен не только формальный, но и содержательный анализ; он же позволяет раскрыть значение факторов, вызвавших отклонения в ту или другую сторону от основной тенденции.
Техника метода скользящей средней дает возможность выбирать различные способы объединения показателей для сглаживания. Таковыми могут быть не только триады, но при достаточно большом числе показателей (порядка 30—40 и более) для выведения скользящей средней могут быть выбраны пентоды (объединения пяти показателей) и даже септимы (семь показателей).
Нужно иметь в виду, что наглядный и простой метод скользящей средней мало пригоден для сглаживаниiя динамики процессов, развитие которых во времени не имеет линейной формы. Сглаживание методом скользящей средней в таких случаях может привести к искажению действительной тенденции развивающегося процесса. Исследователю необходимо внимательно всмотреться в материал, подлежащий сглаживанию, чтобы решить, имеет ли он право воспользоваться этим методом. Если криволинейная зависимость отражена в сочетаниях достаточно больших, приближающихся к прямой, отрезках, ломаной, то каждый из этих отрезков в отдельности, может быть, подвергнут сглаживанию. Таково ограничение в использовании метода скользящей средней.
Анализируя основную тенденцию нее приближении к прямой, можно заметить, что метод не дает меры наклона угла, который образуется между полученной после сглаживания приближающейся к прямой ломаной и осью абсцисс. Между тем, узнав этот угол, исследователь получит информацию о том, с какой скоростью изменяются изучаемые явления во времени: чем круче наклон и, соответственно, чем меньше внешний угол сглаженной кривой с осью абсцисс, тем больший путь проходит за единицу времени меняющийся процесс.
Точные сведения о мере наклона отрезка прямой полученного после сглаживания, дает метод наименьших квадратов.
Для нахождения параметров отрезка прямой, который после сглаживания представит основную тенденцию изменяющегося ряда, проводятся вычисления по определенным формулам.

Формула прямой у = а + Ьх, где у означает показатели ряда, х — еди времени, по которым прослеживаются изменения изучаемого ряда. Надлежит узнать величины а и Ь. Величина необходима для установления точки, с которой берет свое начало отрезок прямой, Ь — необходима для установления степени наклона отрезка прямой по отношению к оси абсцисс (оси иксов).
для вычисления параметров а и Ь имеется система двух уравнений с двумя неизвестными:

па + хЬ =
ха + х2Ь = ху

где х и у рассчитываются из фактических данных изучаемого ряда. Порядок вычислений дан в примере.
Шестиклассники Саша и Толя в течение пяти дней упражнялись в бросках мяча в корзину. Показатели Саши приведены в табл. 17(х — единица времени, у — число попаданий мячом в корзину). В таблице также приведены вычисления других требуемых формулой величин. Число членов ряда п=5.

Таблица 17
Показатели Саши

5а+15Ь=26; 15а+55Ь=89.
Нахождение неизвестных а и Ь производится обычным способом исключения одного неизвестного. Члены первого уравнения в этом случае умножаются на 3:
15а+45Ь=78.
Из второго уравнения вычитается первое:
IОЬ=11; Ь=1,1.
Подставив числовое значение Ь в первое уравнение, можно получить числовое значение а:
5а+ 16,5=26;
5а=9,5; а=1,9.
Поскольку известны оба параметра отрезка прямой, можно определить все значения параметров по пяти точкам из формулы у=а+Ьх. В нашем случае у1,9+1,Iх. Тогда:
у1=1,9+I.I=ЗО
у2=1,9+2.2=4.1
у3=1,9+ЗЗ=5.2
у4= 1,9+4,4=6,3;
у5= 1,9+5,57,•
для у х был равен 1,для у2 он равен 2 и т. д.
Как было сказано ранее, сверстник Саши Толя упражнялся в том же умении. Так же, как и у Саши, количество дней упражнения было равно 5. В табл. 18 приводятся результаты Толи и показаны другие величины, которые необходимы для вычисления параметров, требуемых формулой.

Элементы планирования в психологических исследованиях
Нельзя начинать исследование, не уяснив его цель, — это аксиома. Однако наблюдения показывают, что не все ее принимают. Нередко можно обнаружить смещение двух категорий целей: цель исследования и цель исследователя. Здесь важно не допустить следующего: полного доминирования цели исследователя и безразличного отношения к цели исследования планирование должно исходить из цели исследования.
Есть два главных источника, стимулирующих возникновение исследований:
• запросы, выдвигаемые практикой, которую обслуживает данная наука;
• нужды самой науки.
Стоит отметить, что детальное планирование необходимо и в том и в другом случае.
Различают два основных вида планирования исследований:
• не нуждающиеся в эксперименте;
• Включающие эксперимент как необходимую часть.

Что касается первых, то их планы, в принципе, не отличаются от планов исследований в других науках. В вводной части (она будет примерно такой же и в экспериментальных исследованиях) очерчивается место данного исследования в потоке современной науки, кратко реферируются работы, затрагивающие ту же проблематику, указываются источники и формулируются замысел исследования и его цель. Далее планируется само исследование. Все без исключения исследования вообще могут рассматриваться как система доказательств, обосновывающих выводы, в которых содержится и цель, поставленная автором.
Этот план не должен рассматриваться как обязательный. Особенности работы могут заставить автора в той или иной степени отойти от него, дополнить его или сократить.
В исследованиях, включающих эксперимент, в вводной части должно быть показано, почему оказался нужен эксперимент и каковы принципы его построения.
Планирование эксперимента в психологическом исследовании предполагает предварительное обсуждение следующих пяти пунктов.
1. Каков планируемый объект эксперимента, другими словами, какова та выборка испытуемых, которых намерен привлечь автор? В зависимости от того, каких испытуемых возьмет автор, ему придется обдумать и следующий пункт.
2. Если необходимо работать со школьниками, то эксперимент должен быть согласован со школьными режимами: годовым, еженедельным и ежедневным — с учетом умственной нагрузки школьников. Необходимо считаться и с периодом подготовки к экзаменам, и их сдачей. С первыми двумя пунктами тесно связан третий пункт.
3. Нужны методики, которые, с одной стороны, учитывали бы особенности исследуемого контингента, а с другой — непосредственно вели бы к цели исследования, поскольку намечены методики и время их проведения, возникает следующий пункт плана.
4. Материалы эксперимента нуждаются в адекватной обработке и почти всегда в привлечении статистики. Планируются такие статистические методы, результаты которых непосредственно направлены на достижение цели исследования. Все перечисленные пункты подготавливают планирование последнего пункта.
5. Сколько и какой квалификации работников нужно ля проведения эксперимента, какая понадобится аппаратура и каких средств потребует эксперимент?

Цель исследователя (а не исследования) должна подсказать, в каком виде нужно представить весь полученный материал: это может быть отчет, статья, часть книги или диссертация и т. д.
Исследователь, обдумывал предстоящий эксперимент, должен иметь в виду, что полученные выводы будут относиться не только к выборке испытуемых, непосредственно участвующих в эксперименте, но и к той совокупности, к которой принадлежит эта выборка. Чтобы этот расчет оправдался, нужно с достаточной определенностью представить, что же это за совокупность. Поэтому важно вести эксперимент не с любым набором испытуемых, а с испытуемыми, образующими репрезентативную выборку, воспроизводящую характерные психологические признаки совокупности.
С этих же позиций репрезентативности нужно рассмотреть вопрос выборки. Не всегда целесообразно планировать участие большой выборки в несколько сотен или тысяч испытуемых — в такой выборке почти неизбежно утратится репрезентативность, в ней, возможно, будут представлены несколько совокупностей, каждая из которых так или иначе повлияет на результаты эксперимента: их интерпретация потеряет ясность. Поэтому предпочтительнее работать с малыми и средними выборками, объемом 30—50—100 испытуемых.
Чтобы решить, сколько же конкретно следует взять участников эксперимента, придется провести пилотажный, или подготовительный, мини-эксперимент. Проведение такого эксперимента поможет выявить два необходимых момента:
• гомогенность выборки, ее сравнительно малую вариативность по тем признакам, которые при прочих равных условиях изучаются в эксперименте;
• объем выборки, который обеспечит получение всех показателей как внутри выборки, так и в ее сопоставлениях на должном уровне статистической значимости.
О последнем моменте свидетельствует следующее наблюдение: допустим, что в пилотажном эксперименте на выборке объемом 10 испытуемых получен коэффициент корреляции между двумя признаками, равный 0,6. Этот коэффициент свидетельствует о том, что коррелируемые ряды связаны между собой. Однако этот коэффициент ниже уровня 0,95 значимости, который принят в психологических исследованиях.
При увеличении выборки до 12 человек коэффициент окажется на приемлемом уровне значимости — несколько выше коэффициента общепринятого уровня, а он равен 0,576. (см. Приложение 2, табл. 5, в которой уровни значимости представлены дополнением до 1 — так, значению 0,95 соответствует графа 0,05). Вывод, который придется сделать исследователю: выборка должна состоять не из 10 испытуемых, а минимум из 12. Этот объем позволит получить значимый коэффициент. Но определить объем выборки не пилотажного эксперимента не представляется возможным. Если автор претендует на более высокий уровень значимости, то по таблице уровней значимости он установит и объем выборки. Чем выше гомогенность выборки, тем яснее ее отнесенность к той или другой совокупности. Вместе с тем высокая гомогенность может рассматриваться как предпосылка того, что желательные уровни статистической значимости действительно могут быть достигнуты увеличением выборки.
При планировании эксперимента исследователю надлежит обратить внимание на то, чтобы в подборе испытуемых для своей выборки он избежал вольных или невольных ошибок, порождаемых стремлением работать с выборкой, обеспечивающей получение желательных результатов. Надежным заслоном против таких ошибок является обращение к таблице случайных чисел. Так, исследователю предстоит отобрать из двух классов одну выборку: число учеников в обоих классах составляет 60 человек, а выборку Исследователь намерен составить из 15 человек. Возможно, ему посоветуют взять лучших, или дисциплинированных, или усердных и т. п. Но те признаки, которыми советуют руководствоваться исследователю, несущественны для его цели; допустим, что он намерен изучить наиболее яркие проявления гуманитарных способностей. Именно поэтому при отборе испытуемых в свою выборку ему следует обратиться к таблице случайных чисел.
Чтобы воспользоваться этой таблицей, сначала нужно выписать подряд, одну за другой, в любой последовательности фамилии учеников, из числа которых исследователь намерен образовать нужную ему выборку. далее, открыв таблицу случайных чисел на любой странице, следует взять, например, два первых двузначных числа из любого из десяти столбцов, напечатанных на этой странице. Идя сверху вниз, нужно последовательно приписывать эти двузначные числа к фамилиям учеников. В выборку попадут ученики, к чьим фамилиям будут приписаны первые пятнадцать чисел, начиная с наименьшего. Исследователь волен взять не первые два числа, а два последних или два средних и идти не сверху вниз, а снизу вверх. Необходимо только сохранять тот порядок, который был избран для работы с таблицей случайных чисел в данном конкретном исследовании.
Ниже приведен фрагмент одной из страниц таблицы случайных чисел:
5489 5583 3156 0835 1988 3912 0938 7460 0869 4420 3522 0935 7877
566570209555737971247878 55447555 7579 2550 2487 9477 0864 2349
1012 8250 26335759 3564 5080 9074 7001 624932946368 9102 2872 и т. д.
Допустим, исследователь решил, идя сверху вниз, воспользоваться первыми двумя числами третьего столбца. Тогда идущий первым по порядку ученик получит число 31, второй по порядку — число 78, третий — число 25, четвертый — 50 и далее, следуя вниз по столбцу. После того как числа будут приписаны всем 60 ученикам, будут отобраны те, кто получил первые по порядку 15 чисел. Эта несложная процедура исключит произвольность в отборе испытуемых

Рекомендации, содержащиеся выше, помогут спланировать пилотажный эксперимент, а затем и исследование в его окончательном варианте.
Такое построение работы поможет сэкономить силы, средства и время и в конечном счете прийти к поставленной цели, либо доказан и подтвердив гипотезу автора, либо отказавшись от нее. В том и другом случае прояснится дальнейший путь развития исследований, уточняющих и углубляющих разработку проблемы.
Дело, однако, не только в этом. Неточно спланированное исследование, сколько бы сил в него ни вложили, вряд ли продвинет вперед науку и вряд ли поможет практике. Всегда останется сомнение в действенности его выводов. А это приведет к тому, что возникнет необходимость в новых, тождественных по целям исследованиях, станут вероятными противоречивые выводы.
Поэтому умение планировать экспериментальное исследование составляет важное и необходимое звено в профессиональной подготовке и конечной квалификации психолога.

Вопрос о конструировании эксперимента здесь не затрагивается.

Приложение 3

Поиск по сайту: