Упражнения и задачи

1. Дано множество и множество натуральных чисел N. СоответствиеRмежду элементами этих множеств – «квадрат x равен числу n», где x X, n N. Запишите множество пар, находящихся в заданном соответствии.

Верно ли, что: 1) (-3;9)

2) (0;0)

3) (-4;16) ?

2. Соответствие «меньше» задано между элементами множеств A и B . Постройте график этого соответствия. Каким будет график соответствия «меньше на 1 » между элементами тех же множеств?

3. Построить график соответствия «число меньше числа на 3» между множествами. и Y Z, если (Z - множество целых чисел).

4. Графиком соответствия P, заданного между множествами X и Y, является прямоугольник ABCD.(Рис.4.22).

Назовите координаты трёх точек этого

графика. Укажите характеристическое

свойство чисел, принадлежащих

множествам X и Y.

Рис. 4.22

5. Приведите примеры заданий из начального курса математики, при выпол- нении которых рассматриваются соответствия между:

1) множеством отрезков и множеством N;

2) множеством прямоугольников и множеством N;

3) множеством уравнений и множеством N;

6. Множество R= {(1;1),(3;0),(3;1),(4;0),(4;1),(6;1)} представляет собой соответствие между элементами множеств X ={1;3;4;6} и Y={0;1}.

Задайте соответствие и постройте R и в одной системе координат их графики.

7. Пусть X– множество уравнений, в которых x- действительное число:

X= {x+2=5; 5x-7=3; 2(x-3)=2x-3; (x+2)(x-2)=0, (x+2)(x-2)=0 }, Y=R. Между элементами множествXиYзадано отношение P: «уравнение a имеет действительный корень y», где a X,y Y. Является ли отношения P отображением множества X в множестве действительных чисел R?

8. На рисунке 4.23 изображено некоторое множество C отрезков:

		c

Рис.4.23 Рис.4.24

Множество D = . Между элементами множеств C и D задано отношение T: «отрезок имеет длину », .

Постройте граф отношения T и выясните, является ли отношение T отображением множества C на множестве D.

9. X – множество кругов, изображенных на рис.4.24, . Элементы этих множеств связаны отношением T: «круг имеет площадь, равную », . Постройте граф отношения T и выясните, является ли отношение T отображением множества X на множествo Y.

10. Между множествами X ={3 4;10+2;7-2;7-7;0;6;5;(1-1)} и Y Z задано отношение R: «значение выражения равно числу », .

Постройте граф отношения R и покажите, что оно не является отображением X в множестве Z. Выделите из множества X подмножествo A так, что бы отношение R было отображением множества A в множество Z.

11. Отношение Q: «число x больше на 2 числа y» задано на множестве B={1;3;5;7;9}.

Постройте граф и график отношения Q. Задайте отношениеQс помо- щью уравнения. Постройте графики обратного Q^-1 и противоположного отношений.

12. Отношение S между элементами множества Y = {1;9;3;27} задано при помощи уравнения x=3y Постройте граф отношения S. Установите, какие из следующих предположений задают отношение S^-1:

1) «число меньше в 3 раза числа »;

2) «число не больше в 3 раза числа »;

3) «число больше в 3 раза числа ».

Постройте графики отношений S^-1 и S¹.

13. Сформулируйте свойства отношения «короче», заданного на множестве отрезков. Является ли оно отношением порядка?

14. На множестве X = {3;6;9;12;15} задано отношение «x делитель y». Покажите, что это отношение упорядочивает множество X. Чем этот порядок отличается от того, который устанавливается в множестве X при помощи отношения «больше»?

15. Верно ли, что отношение «число x непосредственно следует за числом y», заданное на N, не является отношением порядка?

16. Можно ли упорядочить множество прямых плоскости при помощи отношений: «прямая x пересекает прямую y», «прямая x перпендикулярна прямой y»?

17. На множестве X = {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10} задано отношение R: «число x имеет один и тот же остаток при делении на 4, что и число y». Объясните, почему Rявляется отношением эквивалентности, и запишите классы разбиения множества X, определяемые этим отношением. Задайте на множестве X какое -либо отношение порядка.

Решение. Отношение Rявляется отношением эквивалентности, поскольку оно рефлексивно (можно сказать, что число имеет один и тот же остаток при делении на 4 с самим собой), симметрично (если число x имеет один и тот же остаток при делении на 4 с числом y, то и y имеет один и тот же остаток при делении на 4, что и число x), транзитивно (если число x при делении на 4 имеет тот же остаток, что и число y, а число y имеет при делении на 4 тот же остаток, что и z, то числаxиz имеют равные остатки при делении на 4).

В данном случае отношение Rразбивает множество X на классы чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1,2,3 и 0:

{1;5;9}, {2;6;10}, {3;7}, {4;8}.

Очевидно, на множестве X можно задать отношения порядка x>y.

17.1. Отношение P: «число х имеет один и тот же остаток при делении на 3, что и число y» задано на множестве X = {x x N, x 10}.Объясните, почему отношение P является отношением эквивалентности, запишите классы разбиения множества отношением P. Задайте на множестве X какое- либо отношение, которое не является ни отношением эквивалентности, ни отношением порядка.

18. В множестве X={3;4;5;8} задано отношение R, график которого имеет вид:

G = {(3;3),(3;4),(4;3),(4;4),(5;5),(5;8),(8;5),(8;8)}.

Докажите, что R - отношение эквивалентности. Постройте график отношения R на координатной плоскости. Укажите его особенности.

19. На множестве X = {2;4;6;8;10} заданы отношения S: «х не больше y» и Q: «х делитель y». Докажите, что R и Q - отношения нестрогого порядка.

Постройте графы этих отношений. В чём их отличие?

Варианты индивидуальных семестровых домашних заданий (И.С.Д.З.).

Каждый студент, для того, чтобы быть допущенным к экзамену или зачёту, должен выполнить ИСДЗ. Номер варианта соответствует порядковому номеру студента в журнале. Если номер в журнале «n» превышает 20, то номер вашего варианта N=n -20.

Номера заданий и упражнений приведены в таблице № 5.1.

Семестровое задание выполняется в отдельной тетради с указанием фами- лии, номера группы, порядкового номера по журналу и номера варианта. Офор- мление работы необходимо начать с записи текста задачи и затем показать её решение с подробными объяснениями.

Допускается также работы, выполненные на листах формата А4 с обяза- тельным титульным листом, скреплёнными в один документ.

При условии правильного и подробного решения задачи за каждые две из них начисляются 1 балл из пяти возможных.

Таблица 5.1.

Список литературы: