Числовые множества

Множество натуральных чисел

N ={ n }={1, 2,..., n,... }.

Множество целых чисел

Z= {0, 1, 2,..., n,...}

Множество рациональных чисел

Q= , где Z, Z,

Множество действительных чисел R ={ x }

Имеет место такое последовательное включение:

N Z Q R

Все указанные числовые множества обладают свойством упорядочен- ности, т.е. для любых двух различных элементов а и в либо а > в, либо а < в. Кроме того, выполняется свойство транзитивности: из а > в и в > с

следует, что а > с.

Множества Q и R являются всюду плотными множествами, т.е. между любыми двумя различными элементами а и в найдется хотя бы один элемент(например, элемент с = ).

Множество R обладает важным свойством непрерывности.

Пусть А ={ x } - некоторое непустое множество действительных чисел.

Множество А называют ограниченным сверху (снизу), если существует действительное число К такое, что x К (x К).

Всякое К с указанным свойством называют верхней (нижней) гранью множества А.

Множество называют ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.

Наименьшую из верхних граней множества А называют точной верхней гранью этого множества и обозначают символом sup A (супремум А).

Наибольшую из нижних граней называют точной нижней гранью этого множества и обозначают символом inf A (инфимум A).

Свойства точной верхней и точной нижней граней:

1. Для любого элемента х А выполняется неравенство х sup A (х inf A)

2. Для любого числа > 0 найдётся элемент х А такой, что х > sup A- (х < inf A+ ).

Пример: А =[ a,в [ ={ x a x < в }

В =] a,в ] = { x a < x в } - полуоткрытые интервалы.

C =] ; а ] = { x < x a }

Здесь inf A=а, sup В=в, sup С=а принадлежат указанным множествам; sup А=в, inf В=а - не принадлежат им.

Поиск по сайту: