Упражнения и задачи. 1.Сформулируйте условия, при которых

1. Сформулируйте условия, при которых

а) А В Ø

б) А В = A, если:

А – множество солнечных летних дней на Урале, В – множество дождливых летних дней.

Решение: а) По определению пересечения множеств А и В не пусто, если они имеют хотя бы один общий элемент, т.е. хотя бы один летний день на Урале будет и солнечным и дождливым.

б) А В = A, только в том случае, когда В А, т.е все дождливые дни обязательно должны быть попеременно с солнечным периодом в течение суток.

1.1 Известно, что K – множество девушек в группе, L – множество студентов этой группы, получающих повышенную стипендию. Сформулируйте условия.

а) K L Ø б) K L = K

1.2 Множеств К определяет всех спортсменов класса, L - множество отличников.

Сформулируйте условие, при которых:

a) L К. б) L K Ø

1.3 Изобразите с помощью диаграмм Эйлера – Венна следующие множества: J – универсальное множество книг в библиотеке колледжа, подмножество M – книги по математике, А – книги по алгебре, F – книги по физике, Р – книги на английском языке.

1.4 Проиллюстрируйте с помощью диаграмм Эйлера – Венна следующее высказывание:

а) некоторые чётные натуральные числа, кратные 5;

б) все числа, делящиеся на 9, делятся на 3;

в) каждое число с нулём на конце делится на 5;

г) ни одно число, запись которого оканчивается цифрой «3», не делится на 6.

2. Выясните истинность высказывания:

5 є M ( K) и 8 є M ( K), где: М – множество нечётных натуральных чисел; Р – множество натуральных чисел, кратных 7; К – множество натуральных чисел, кратных 3.

Нарисуйте диаграммы Эйлера – Венна для множеств М, Р, К и укажите множество M (P _N K).

Решение. Число 5 – нечётное, значит 5 є М, тогда по определению объединения множеств 5 є М (P _N K)-истинное высказывание.

Число 8 – чётное, не кратное 7 и 3, следовательно 8 М, 8 Р, 8 К. Так как 8 К, то и 8 P _N K, а значит 8 є М (P _N K) – ложно.

Для того, чтобы изобразить множество М, Р, К, N, нужно выяснить их взаимоотношения друг с другом.

Естественно, N – универсальное множество, а К, Р, М – его подмножества.

М и Р пересекаются, т.к среди нечётных чисел имеются числа, кратные семи: 21, 35,.... Р и К – пересекаются, т.к. среди натуральных чисел, кратных семи, имеются и кратные трём (42,...).

Пересечение K М непусто, т.к. существует множество нечётных чисел, кратных трём.

Таким образом, имеем M N, Р N, К N и M Р Ø, M K Ø, Р К Ø

На диаграммах Эйлера-Венна этовыглядит так

Рис. 1.10.

Изобразим теперь множество P _N K т.е. элементы, которые не входят в множество Р и входят в множество К (Рис. 1.11.)

Рис. 1.11.

Во множество M (P _N K) войдут ещё и элементы, которые принадлежат множеству М (Рис. 1.12.)

Рис. 1.12.

2.1 А- множество из N, кратных 3, В- множество чётных натуральных чисел, С – множество из N, кратных 5.

а) Выяснить истинность высказываний:

30 є А (В С)’_N, 25 є А (В С)’_N. Ответ поясните.

б) Изобразите с помощью диаграмм Эйлера – Венна множество А (В С)’_N.

2.2 Даны множества: В – трёхзначные числа, В N; С – числа, кратные 3,
С N; D – множество натуральных чисел, кратных 4. Определите истинность высказываний 324 є (N B) \ (C D).Изобразите множество А (В С)’_N.

2.3 Пусть К - множество треугольников на плоскости,

D - множество равнобедренных треугольников плоскости,

F - множество равносторонних треугольников плоскости,

М - множество прямоугольных треугольников плоскости.

а) Выясните, принадлежат ли множеству X = (F M) \ (D K) равносторонние треугольники, прямоугольные прямоугольники.

б) Изобразите диаграммами Эйлера – Венна множества F,M,D,K и X.

2.4 Пусть: множество А – тупоугольные треугольники

множество В – прямоугольные треугольники

множество С – треугольники с углами в 60^о.

Изобразите множество А (В С). Сформулируйте его характеристическое свойство.

2.5 Дано:

В – множество натуральных делителей числа 18,

С – множество натуральных делителей числа 24.

Укажите характеристическое свойство пересечения В С, перечислите их.

3. Докажите, что для любых множеств А и В верно равенство: А В’= (В\А) ’

Доказательство

Докажем, что А В’ (В\А) ’. Пусть х – произвольный элемент множества А В’, т.е. х є А В’. По определению суммы х є А или х є В’. Если х є А, то х (В\А)’ по определению разности множеств, а следовательно, х є (В\А)’ по определению дополнения.

Если х В’, то х В, значит и х (В\А). Отсюда х (В\А) ’ по определению дополнения.

Таким образом, для любого элемента х из множества А В’ справедливо: если х є А В’, то х є (В\А)’, т.е. А В’ (В\А) ’.

Докажем теперь, что (В\А)’ является подмножеством А В’. Выберем элемент y из (В\А) ’, тогда y (В\А), y B или y А.

Если у В, то у є В’, а следовательно у є А В’ по определению суммы.

Если у є А, то у є А В’.

Итак, из того что y є (В\А)’, следует, что у є А В’, т.е.(В\А) ’ А В’.

Мы показали, что А В’ (В\А)’ и (В\А)’ А В’. Из определения равных множеств (х₁ х₂,х₂ х₁, значит х₁ = х₂) имеем:

А В’ = (В\А)’.

3.1 Докажите, что для любых множеств А и В верно равенство (А \ В)’=А’ (А В).

Дайте графическую иллюстрацию с помощью диаграмм Эйлера – Венна.

3.2 Докажите, что для любых А,В и С справедливо равенство

А\(В С)= (А\В) (А\С). Изобразите на диаграммах Эйлера – Венна.

3.3 Докажите равенство (А В) С = (А С) (В С).

3.4 Докажите (А’ В’)= А В’.

3.5 Докажите, что если А В, то В’ А’. Дайте графическую иллюстрацию.

4. Найдите пересечение, объединение и разность множеств А и В, если

А = { x x є R, x є (-10; 7 ] }, B = { x x є R, x є [ 1; 10) }.

Изобразите множества на числовой прямой.

Решение:

Изображаем множества А и В на числовой прямой ОХ в соответствующем масштабе (Рис.1.13)

Рис.1.13

А В = {x x є R, x є [1; 7 ] }

А В = {x x є R, x є (-10; 10)}

А\В = {x x є R, x є (-10; 1)}

В\А = {x x є R, x є (7; 10 ] }

4.1 Используя числовую прямую, найдите пересечение, объединение и разности множеств

а) А = { x x є Z, x > - 2 }, B = { x x є N, x ≤ 8 }

б) А = { x x є R, x ≥ - 2 }, B = { x x є R, x ≤ 8 }

в) А = { x x є R, 0 < x < 3.5 }, B = { x x є R, -3 < x < 1 }

г) А = { x x є R, x < -1.7}, B = { x x є R, x > -1.2 }

4.2 Установите, в каком отношении находятся множества А и В, если

А = { a; в; c; d }, а множество В таково:

а) B = { k; L; m }

б) B = { в; c; e; f; k }

в) B = { d; f; c; в; a }

г) B = { в; d }

д) B = { d; c; в; a }

е) B = Ø.

5. Изобразите на координатной плоскости декартово произведения Х Y, если

X = { x x є N, 2 ≤ x < 5 }, Y = { y y є R, 3 < y ≤ 10 }.

Решение. Элементами множества X и Y являются пары чисел (x;y), в которых компонента x є X, а компонента y є Y. В данном случаеX = {2; 3; 4},а Y = (3;10 ]. Таким образом, мы должны построить все точки, у которых абсцисса х равна 2,3 или 4, а ордината y - любому числу из промежутка (3; 10]. Множество X и Y изображается в виде трёх отрезков, показанных на Рис. 1.14

Рис. 1.14

5.1 Постройте на координатной плоскости множество точек декартова произведения множеств X и Y.

а) X = { x x є R, 0 ≤ x ≤ 7 }, Y = { y y є Z, -3 < y < 2 }

б) X = { x x є R, = 2 }, Y = { y y є R, ≤ 2 }

в) X = { x x є R, -3 < x ≤ 4 }, Y = { y y є Z, 2 ≤ y ≤ 5 }

г) X = R, Y = (-2; ∞)

д) X = { 1; 2; 3; 4 }, Y = [ 6; 8 ]

е) X = (- 4; -5), Y = ( ; 4 ].

5.2 На координатной плоскости постройте две прямые, проходящие через точки А(3;6) и В (-2; -3) и параллельные оси OY. Выясните, декартово произведение каких множеств изображается в виде полосы, заключённой между ними?

5.3 Даны множества А = {a;в;c}, B = {1;2}, C = {2;3;4}.

a) Запишите множества A B, A C, B C.

б) Выясните, какие элементы принадлежат множествам (A B) (A C) и А (В С).

в) Верно ли, что (A B) (A C) = А (В С)?

5.4 Докажите, что для любых множеств А,В,С справедливо

А (В С)= (A B) (A C).

Поиск по сайту: