Глава 19. Факторный анализ

После изучения материала этой главы вы должны уметь...

1. Излагать концепцию факторного анализа и объяснять, чем он отличается от дисперсионно-

го анализа, множественной регрессии и дискриминантного анализа.

2. Обсуждать метод выполнения факторного анализа, включая формулирование проблемы,

построение корреляционной матрицы, выбор подходящего метода, определение ряда фак-

торов, их вращение и интерпретацию.

3. Понимать различие между выполнением факторного анализа методом главных компонент

и методом общих факторов.

4. Объяснять принцип отбора переменных-заменителей с точки зрения их использования в

последующем анализе.

5. Описывать процедуру для определения соответствия модели факторного анализа исходным

данным, используя наблюдаемые и вычисленные корреляции.

КРАТКИЙ ОБЗОР

При дисперсионном (глава 16), регрессионном (глава 17) и дискриминантном анализе

(глава 18) одну переменную маркетологи четко идентифицируют как зависимую. Теперь же

рассмотрим, как проводится факторный анализ, не предполагающий разделение переменных

на независимые и зависимые. Наоборот, исследователи проверяют все возможные варианты

взаимозависимостей между переменными. В этой главе обсуждается основная концепция фак-

торного анализа и дается понятие факторной модели. Мы опишем этапы факторного анализа и

проиллюстрируем их с точки зрения анализа главных компонент и анализа общих факторов.

Для начала приведем несколько примеров, иллюстрирующих полезность факторного анализа.

СКВОЗНОЙ ПРИМЕР. ВЫБОР УНИВЕРМАГА

Факторный анализ

Маркетологи провели факторный анализ ответов респондентов, в которых они расставляли

оценки в 21 утверждении об образе жизни. В результате определили семь основных факто-

ров, влияющих на образ жизни: предпочтение банковских карточек, а не карточек покупа-

теля универмага; предрасположенность к кредиту; избежание кредита; ориентация на досуг;

лояльность к кредитным карточкам; удобство кредитных карточек и осознание значения

кредитных карточек. Эти факторы, наряду с демографическим характеристиками, исполь-

зовались для профилирования сегментов, образованных в результате кластеризации.

ПРИМЕР. Факторный анализ приносит банкам прибыль

Как потребители оценивают банки? Респондентов попросили оценить важность 15 бан-

ковских характеристик по пятибалльной шкале — от несущественной характеристики до

очень важной. Эти данные были изучены с помощью анализа главных компонент.

При анализе переменных выявили четыре фактора: традиционные услуги, удобство, от-

1 крытость и компетентность. Традиционные услуги включали: процентные ставки по зай- |

Глава 19. Факторный анализ 717

мам, репутацию в обществе, низкие комиссионные по операциям с чеками, уважительность

и индивидуальный подход при обслуживании клиента, доступ к ежемесячным отчетам и

возможность получения займов. К удобству относились: удобное расположение отделений

банков, удобные места расположения банкоматов, быстрота обслуживания и удобное время

работы банка. Открытость включала: рекомендации от друзей и родственников, обществен-

ную поддержку и доступность получения займов. Под компетентностью подразумевалась

компетентность банковских служащих и наличие вспомогательных банковских услуг. В ре-

зультате пришли к выводу, что клиенты оценивают работу банков по четырем основным

факторам: традиционные услуги, удобство, открытость и компетентность [1].

СУТЬ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА

Факторный анализ (factor analysis) — это общее название для класса методов, используемых,

главным образом, для сокращения числа переменных и их обобщения.

Факторный анализ (factor analysis)

Класс методов, используемых, главным образом, для сокращения числа переменных и их

обобщения.

В ходе проведения маркетингового исследования можно столкнуться с множеством пере-

менных, большинство из которых взаимосвязаны. Для удобства обработки данных их число

следует снизить до приемлемого уровня. С этой целью связи между коррелированными пере-

менными анализируют и представляют в виде небольшого числа факторов. Например, можно

измерить имидж магазина, попросив респондентов оценить магазины по ряду пунктов и вы-

разить эту оценку по семантической дифференциальной шкале. Затем полученные оценки

можно проанализировать, чтобы определить факторы, характеризующие имидж магазина.

В дисперсионном анализе, множественной регрессии и д искри ми нантном анализе в каче-

стве зависимой переменной рассматривается одна переменная, а остальные являются незави-

симыми (предикторами). Однако в факторном анализе такого разграничения не делают. По-

этому факторный анализ — это скорее метод анализа взаимозависимости (interdependence

technique), поскольку в факторном анализе проверяются всевозможные варианты взаимозави-

симых связей [2].

Метод анализа взаимозависимости (interdependence technique)

Многомерный статистический метод, в котором изучают всевозможные варианты взаимоза-

висимых связей.

Факторный анализ используют в следующих ситуациях.

1. Для определения основных факторов, которые объясняют связи в наборе переменных. На-

пример, можно использовать набор высказываний об образе жизни для измерения психо-

графических профилей потребителей. Затем эти высказывания подвергают факторному

анализу, чтобы определить основные психографические факторы, как это показано в при-

мере с универсальным магазином [3].

2. Для определения нового, меньшего по размеру, набора некоррелирующих переменных, за-

меняющих исходный набор коррелирующих переменных, на основании которого дальше

выполняется многомерный анализ (регрессионный или дискриминантный). Например,

выявленные психографические факторы можно использовать как независимые перемен-

ные при объяснении различий между лояльными и нелояльными потребителями.

3. Для преобразования большего по размеру набора в меньший набор ясно выраженных пере-

менных для использования их в последующем многомерном анализе. Например, несколько

исходных заявлений о стиле жизни, которые сильно коррелируют с выявленными факто-

718 Часть 111. Сбор, подготовка и анализ данных

рами, можно использовать как независимые переменные для объяснения различий между

лояльными и нелояльными клиентами.

Фактор (factor)

Латентная переменная, конструируемая таким образом, чтобы можно было объяснить кор-

реляцию между набором переменных.

Факторный анализ широко используется в маркетинговых исследованиях.

• При сегментации рынка для определения латентных переменных с целью группировки

потребителей. Покупателей новых автомобилей можно сгруппировать в зависимости от

того, на что они обращают внимание при покупке автомобиля: экономию, удобства, ра-

бочие характеристики автомобиля, комфорт и респектабельность. В результате получают

пять сегментов рынка: покупатели, стремящиеся к экономии; покупатели, стремящиеся

к удобствам; покупатели, стремящиеся к определенным рабочим характеристикам авто-

мобиля; покупатели, ищущие комфортабельные автомобили; покупатели, ищущие рес-

пектабельные автомобили.

• При разработке товарной стратегии факторный анализ используется для определения

характеристик торговой марки, влияющих на выбор потребителей. Кокрентые торговые

марки зубных паст оценивают с точки зрения защиты от кариеса, отбеливания зубов,

вкуса, приятного запаха и цены.

• При разработке рекламной стратегии маркетологи с помощью факторного анализа пы-

таются понять, каким передачам отдают предпочтение потребители целевого рынка.

Покупатели замороженных продуктов, например, могут смотреть кабельное телевиде-

ние, любить фильмы опередленного жанра и музыку в стиле "кантри".

• При разработке стратегии ценообразования факторный анализ определяет характери-

стики потребителей, чувствительных к цене. Например, может оказаться, что они стре-

мятся к экономии и ориентированы на домашний отдых.

МОДЕЛЬ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА

С математической точки зрения факторный анализ в некоторой степени аналогичен мно-

жественному регрессионному анализу в том смысле, что каждая переменная выражена как ли-

нейная комбинация латентных факторов. Доля дисперсии отдельной переменной, принадле-

жащая общим факторам (и разделяемая с другими переменными) называется общностью

(communality). Ковариацию среди переменных описывают небольшим числом общих факто-

ров, плюс характерный фактор для каждой переменной. Эти факторы явно не видны. Если пе-

ременные нормированы, то факторную модель можно представить следующим образом:

Xi=Ai,Fl+Ai2F2+Ai3F3 +...+Ain,Fm + ViUi,

где Xi ~ i-я нормированная переменная;

Ад— нормированный коэффициент множественной регрессии переменной i по общему

фактору у;

FI — общий фактор;

Vf — нормированный коэффициент регрессии переменной / по характерному фактору <";

U, — характерный фактор для переменной /;

т — число общих факторов.

Характерные факторы не коррелируют между собой и с общими факторами [4].

Общие факторы в свою очередь также можно выразить линейными комбинациями наблю-

даемых переменных:

F, = W^j + Wi2X2 + WI3X3 +...

Глава 19. Факторный анализ 719

где /)_ оценка i -го фактора;

Wj — весовой коэффициент или коэффициент значения фактора;

Л — число переменных.

Можно подобрать веса так, чтобы первый коэффициент значения фактора объяснял наи-

большую долю полной дисперсии. Затем отобрать второй набор весов так, чтобы второй фактор

вносил наибольший вклад в остаточную дисперсию при условии, что он не коррелирует с пер-

вым фактором. Этот же принцип применяется для отбора дополнительных весов для дополни-

тельных факторов. Таким образом, можно оценить факторы так, чтобы их значения, в отличие

от значений исходных переменных, не коррелировали. Более того, первый фактор объясняет

наибольшую дисперсию в данных, второй фактор — вторую по величине дисперсию и т.д. Тех-

ническая обработка модели факторного анализа представлена в Приложении 19А. С фактор-

ным анализом связано несколько статистик.

СТАТИСТИКИ, СВЯЗАННЫЕ С ФАКТОРНЫМ

АНАЛИЗОМ

Ниже приведены ключевые статистики, связанные с факторным анализом.

Критерий сферичности Бартлетта (Bartlett's test of sphericity). Статистика, проверяющая

гипотезу о том, что переменные в генеральной совокупности не коррелируют между собой.

Другими словами, корреляционная матрица в совокупности является характерной матри-

цей; каждая переменная коррелирует сама с собой (г = 1), но не взаимосвязана с другими пе-

ременными (г= 0).

Корреляционная матрица (correlation matrix). Матрица попарных корреляций г между всеми

возможными парами переменных, включенных в анализ. Это симметричная, неотрицательно

определенная матрица.

Общность (communality). Доля дисперсии отдельной переменной, которую переменная де-

лит с другими рассматриваемыми переменными. Это доля дисперсии, объясняемая общими

факторами.

Собственное значение (eigenvalue). Представляет полную дисперсию, объясняемую каждым

фактором.

Факторные нагрузки (factor loadings). Линейные корреляции между переменными и фак-

торами.

График факторных нагрузок (factor loadings plot). График исходных переменных, где по осям

координат откладывают значения факторных нагрузок.

Матрица факторных нагрузок (factor matrix). Содержит факторные нагрузки всех перемен-

ных по всем выделенным факторам.

Значения фактора (factor scores). Суммарные значения, определенные для каждого респон-

дента по производным факторам.

Критерий адекватности выборки Кайзера-Мейера-Олкина (Kaiser— Meyer— Olkin (KMO)

measure of sampling adequacy). Коэффициент для проверки целесообразности выполнения фак-

торного анализа. Высокие значения (от 0,5 до 1) указывают, что факторный анализ целесооб-

разен. Малые значения (до 0,5) указывают, что факторный анализ неприемлем.

Процент дисперсии (percentage of variance). Процент от полной дисперсии, приписываемый

каждому фактору.

Остатки (residuals). Разница между наблюдаемыми корреляциями, приведенными в исход-

ной корреляционной матрице, и вычисленными корреляциями, определенными из матрицы

факторных нагрузок.

Графическое изображения критерия "каменистой осыпи" (scree plot), График зависимости

собственных значений от числа факторов в порядке их убывания.

Использование статистик как процедуры выполнения факторного анализа описано в сле-

дующем разделе.

720 Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных

ВЫПОЛНЕНИЕ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА

Этапы выполнения факторного анализа приведены на рис. 19.1.

„.Формулировка проблемы

ода факторного анализа

-...., -

Отбор

переменных-имитаторов

Рис. 19.1. Выполнение факторного анализа

Первый этап состоит в формулировании проблемы факторного анализа и определении пе-

ременных, подвергаемых факторному анализу. Затем строится корреляционная матрица пере-

менных и выбирается метод факторного анализа. Исследователь выбирает число факторов, ко-

торые следует выделить, и метод вращения факторов. Далее повернутые факторы следует ин-

терпретировать. В зависимости от целей, можно вычислить значения факторов или отобрать

переменные-заменители для представления факторов в последующем многомерном анализе.

И наконец, смотрят, насколько хорошо подогнана факторная модель. Мы обсудим эти этапы

подробнее в следующих разделах [5].

Формулировка проблемы

Формулировка проблемы включает несколько задач. Во-первых, четкое определение целей

факторного анализа. Переменные, подвергаемые факторному анализу, задаются исходя из

прошлых исследований, теоретических выкладок и по усмотрению исследователя. Важно, что-

бы переменные измерялись в интервальной или относительной шкале. Выборка должна быть

подходящего размера. Опыт подсказывает, что рекомендуется брать выборку, по крайней мере,

в четыре или пять раз больше, чем число переменных [6]. Часто при маркетинговых исследова-

ниях размер выборки мал, и это отношение значительно меньше. В таких случаях следует осто-

рожно интерпретировать результаты.

Глава 19. Факторный анализ 721

Для иллюстрации факторного анализа предположим, что исследователь хочет определить

основные преимущества, которые потребители хотят получить, покупая определенную зубную

пасту. Маркетологи опросили в торговом центре 30 респондентов. Их попросили указать, ис-

пользуя семибалльную шкалу (1 — полностью несогласен, 7 — полностью согласен), степень

согласия со следующими утверждениями:

Vl — важно приобрести зубную пасту, которая предотвращает развитие кариеса;

Уг — мне нравится зубная паста, которая придает зубам белизну;

V) — зубная паста должна укреплять десна;

К, — я предпочитаю зубную пасту, которая освежает дыхание;

У5 — предотвращение порчи зубов не является важным преимуществом данной зубной пасты;

V6 — наиболее важной причиной покупки данной зубной пасты является способность зуб-

ной пасты улучшать внешний вид зубов.

Полученные данные приведены в табл. 19.1. На основании этих оценок построена корреля-

ционная матрица.

Таблица 19.1. Рейтинги характеристик зубной пасты ло семибалльной шкале

Номер респондента V, V2 V3 Vj V5

а

ю

и

7,00

1,00

6,00

4,00

1,00

6,00

5,00

6,00

3,00

2,00

6,00

2,00

7,00

4,00

1,00

6,00

5,00

7,00

2,00

3,00

1,00

5,00

2,00

4,00

6,00

3,00

4,00

3,00

4,00

2,00

3,00

3,00

2,00

5,00

2,00

3,00

3,00

4,00

6,00

4,00

3,00

2,00

6,00

3,00

4,00

3,00

3,00

4,00

5,00

3,00

4,00

2,00

6,00

5,00

5,00

4,00

6,00

7,00

3,00

6,00

2,00

7,00

4,00

2,00

6,00

6,00

7,00

2,00

2,00

7,00

1,00

6,00

4,00

2,00

6,00

6,00

7,00

3,00

3,00

2,00

5,00

1,00

4,00

4,00

4,00

7,00

2,00

3,00

2,00

4,00

4,00

4,00

6,00

3,00

4,00

3,00

4,00

3,00

6,00

3,00

4,00

4,00

5,00

2,00

3,00

3,00

4,00

3,00

6,00

3,00

4,00

5,00

6,00

2,00

6,00

2,00

6,00

7,00

4,00

2,00

5,00

1,00

2,00

6,00

2,00

4,00

1,00

6,00

7,00

1,00

3,00

6,00

3,00

3,00

1,00

6,00

4,00

5,00

2,00

4,00

4,00

1,00

4,00

2,00

4,00

2,00

7,00

4,00

4.00

3,00

5,00

2,00

4,00

3,00

4,00

3,00

6,00

3,00

4.00

3,00

6,00

4,00

4,00

4,00

4,00

3,00

6,00

3,00

4,00

4,00

7,00

4,00

7,00

5,00

3,00

7,00

2,00

722 Часть III, Сбор, подготовка и анализ данных

Построение корреляционной матрицы

В основе нашего анализа лежит матрица корреляций между переменными. Ее анализ дает

маркетологам ценную информацию. Целесообразность выполнения факторного анализа опре-

деляется наличием корреляций между переменными. На практике так обычно и бывает. Если

же корреляции между всеми переменными небольшие, то факторный анализ бесполезен. Сле-

дует также ожидать, что переменные, тесно взаимосвязанные между собой, должны также тесно

коррелировать с одним и тем же фактором или факторами.

Для проверки целесообразности использования факторной модели анализа зависимости

перменных существует несколько статистик. С помощью критерия сферичности Бартлетта про-

веряется нулевая гипотеза об отсутствии корреляций между переменными в генеральной сово-

купности: другими словами, рассматривается утверждение о том, что корреляционная матрица

совокупности — это единичная матрица, в которой все диагональные элементы равны 1, а все

остальные равны 0. Проверка с помощью критерия сферичности основана на преобразовании

детерминанта корреляционной матрицы в статистику хи-квадрат. При большом значении ста-

тистики нулевую гипотезу отклоняют. Если же нулевую гипотезу не отклоняют, то целесооб-

разность выполнения факторного анализа вызывает сомнения. Другая полезная статистика —

критерий адекватности выборки Кайзера—Мейера-Олкина (КМО). Данный коэффициент

сравнивает значения наблюдаемых коэффициентов корреляции со значениями частных коэф-

фициентов корреляции. Небольшие значения КМО-статистики указывают на то, что корреля-

ции между парами переменных нельзя объяснить другими переменными и что использование

факторного анализа нецелесообразно.

Корреляционная матрица, построенная на основании данных, полученных из ответов рес-

пондентов о преимуществах различных видов зубной пасты, показана в табл. 19.2.

! Таблица 19.2. Корреляционная матрица

Переменные Vj V? УЗ V* Vj Vs

v,

V:

Vi

V.'

V;.

ye

1,00

- 0,053

0,873

- 0,086

- 0,858

0,004

1,00

-0,155

0,572

0,020

0,640

1,00

- 0,248

- 0,778

-0,018

1,00

-0,007 1,00

0,640 -0,136 1,00

Из данных табл. 19.2 видно, что относительно высокое значение корреляции наблюдается

между К, (предотвращение кариеса), К3 (укрепление десен) и К5 (предотвращение порчи зубов).

Можно ожидать, что эти переменные коррелируют с одним и тем же набором факторов. Анало-

гично, относительно высокие корреляции наблюдаются между У2 (отбеливание зубов), Ул

(свежее дыхание) и К6 (привлекательность внешнего вида зубов). Также можно ожидать, что

эти переменные коррелируют с одними и теми же факторами [7].

Результаты факторного анализа приведены в табл. 19.3.

Нулевую гипотезу о том, что корреляционная матрица совокупности является единичной

матрицей, отклоняют в соответствии с критерием сферичности Бартлетта. Приближенное зна-

чение статистики хи-квадрат равно 111,314 с 15-ю степенями свободы, она является значимой

при уровне 0,05. Значение статистики КМО (0,660) также большое (> 0,5). Таким образом,

факторный анализ можно рассматривать как приемлемый метод для анализа корреляционной

матрицы табл. 19.2.

Глава 19. Факторный анализ 723

Таблица 19.3. Результаты анализа главных компонент

Критерий сферичности Бартлетта

Приближенное значение статистики хи-квадрат- 111,314; число степеней свободы - 15; значимость - 0,00000

Критерий адекватности выборки Кайэера-Мейера-Олкина - 0,660

Общности

Переменная Начальная Выделенная

l/i 1,000

V2 1,000

V3 1,000

V4 1,000

1/5 1,000

1/6 1,000

Исходные собственные значения

Фактор Собственное значение

1 2,731

2 2,218

3 0,442

4 0,341

5 0,183

6 0,085

0,926

0,723

0,894

0,739

0,878

0,790

•

Процент дисперсии

45,520

36,969

7,360

5,688

3,044

1,420

Кумулятивный процент

45,520

82,488

89,848

95,536

98,580

100,000

Сумма квадратов нагрузок для выделенных факторов

Фактор Собственное значение

1 2,731

2 2,218

Матрица факторных нагрузок

Фактор 1

l/i 0,928

1/2 -0,301

1/э 0,936

1/4 - 0,342

1/5 - 0,869

1/6 -0,177

Процент дисперсии

45,520

36,969

Фактор 2

0,253

0,795

0,131

0,789

-0,351

0,871

Кумулятивный процент

45,520

82,488

Суммы квадратов факторных нагрузок после вращения факторов

Фактор Собственное значение

1 2,688

2 2,261

Процент дисперсии

44,802

37,687

Кумулятивный процент

44,802

82,488

724 Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных

Окончание табл. 19.3

Матрица факторных нагрузок после вращения факторов

Фактор 1 Фактор 2

v\

1/2

ft

V4

Vs

1/6

0,962

-0,057

0,934

-0,098

-0,933

0,083

- 0,027

0,848

-0,146

0,854

-0,084

0,885

Матрица коэффициентов значения факторов

Фактор 1 Фактор 2

Vi 0,358 0,011

V2 -0,001 0,375

V3 0,345 - 0,043

V4 -0,017 0,377

l/s - 0,350 - 0,059

V6 0,052 0,395

Вычисленная корреляционная матрица

V, V2 V3 V4 Vs Ve

v,

1/2

V,

vt

1/5

Ve

0,926'

- 0,078

0,902

-0,117

- 0,895

0,057

0,024

0,723'

-0,177

0,730

-0,018

0,746

- 0,029

0,022

0,894*

-0,217

- 0,859

-0,051

0,031

-0,158

- 0,031

0,739*

0,020

0,748

0,038

0,038

0,081

- 0,027

0,878'

-0,152

- 0,053

-0,105

0,033

-0,107

0,016

0,790*

'Нижний левый треугольник содержит вычисленную корреляционную матрицу; диагональ - общности; верхний правый тре-

угольник — остатки между наблюдаемыми и вычисленными корреляциями.

Определение метода факторного анализа

Поскольку установлено, что факторный анализ подходит для анализа данных, необходимо

выбрать соответствующий метод его выполнения. Различные методы факторного анализа раз-

личают в зависимости от подходов, используемых для выделения коэффициентов значения

факторов. Существует два метода — анализ главных компонент и анализ общих факторов. При

анализе главных компонент (principal components analysis) учитывают всю дисперсию данных.

Анализ главных компонент (principal components analysis)

Метод факторного анализа, который учитывает всю дисперсию данных.

Диагональ корреляционной матрицы состоит из единиц, и вся дисперсия_введена в матри-

цу факторных нагрузок. Анализ главных компонент рекомендуется выполнять, если основная

задача исследователя — определение минимального числа факторов, которые вносят макси-

мальный вклад в дисперсию данных, чтобы в последующем использовать их в многомерном

анализе. Эти факторы называют &швными компонентами (principal component).

Глава 19. Факторный анализ 725

В анализе общих факторов (common factor analysis) факторы определяют только на основа-

нии общей дисперсии. Общности располагаются на диагонали корреляционной матрицы. Этот

метод подходит, если основной задачей является определение латентных переменных и общей

дисперсии. Этот метод также известен какра&южение матрицы (principal axis factoring).

Анализ общих факторов (common factor analysis)

Метод факторного анализа, который оценивает факторы только по общей (для всех факто-

ров) дисперсии.

Существуют и другие методы оценки общих факторов. Они включают: метод невзвешенных

наименьших квадратов, обобщенный метод наименьших квадратов, метод максимального

правдоподобия, ачьфа- факторны и метод, распознования образов. Эти методы сложнее, и их не

рекомендуется использовать неопытным аналитикам [8].

В табл. 19.3 показано применение анализа главных компонент. В колонке "Исходные"

(часть таблицы под названием "Общности") видно, что значения общностей для каждой пере-

менной от V]_ до У6 равны 1, поскольку единицы введены в диагональ корреляционной матри-

цы. Часть табл. 19.3 под названием "Исходные собственные значения" дает собственные значе-

ния факторов, которые снижаются при переходе от первого фактора к шестому. Собственное

значение фактора указывает полную дисперсию, присущую данному фактору. Полная диспер-

сия для всех шести факторов равна 6, т.е. числу переменных. Дисперсия, обусловленная влия-

нием первого фактора, равна 2,731 или 45,52% от полной дисперсии (2,731/6). Аналогично,

дисперсия, обусловленная влиянием второго фактора, равна (2,218/6) или 36,97% от полной

дисперсии, и два фактора вместе объясняют 82,49% полной дисперсии. Для определения числа

факторов, которые необходимо использовать в анализе, существует несколько методов.

Определение числа факторов

Можно вычислить столько главных компонент, сколько имеется переменных, но это не-

экономично. Чтобы обобщить информацию, содержащуюся в исходных переменных, лучше

выделить небольшое число факторов. Вопрос в том: сколько? Для определения числа факторов

предлагается несколько процедур: определение, основанное на предварительной информации;

определение, основанное на собственных значениях факторов; критерий "каменистой осыпи";

определение на основе процента объясненной дисперсии; метод расщепления и критерии

значимости.

Определение, основанное на предварительной информации. Иногда, руководствуясь предва-

рительной информацией, исследователь знает, сколько факторов можно ожидать, и таким об-

разом, может заранее определить число выделяемых факторов. После извлечения желаемого

числа факторов их выделение прекращают. Большинство компьютерных программ позволяют

пользователю определить число факторов, значительно упрошая применение этого метода.

Определение, основанное на собственных значениях факторов. В этом методе учитывают

только факторы, собственные значения которых выше 1,0; остальные факторы в модель не

включают. Собственное значение представляет значение дисперсии, обусловленной действием

этого фактора. Следовательно, рассматривают только факторы с дисперсией выше 1,0. Если

число переменных меньше 20, то этот метод завышает число факторов.

Определение, основанное на критерии "каменистой осыпи". Графическое изображение кри-

терия "каменистой осыпи" представляет собой график зависимости собственных значений

факторов от их номеров в порядке выделения. Для определения числа факторов используют

форму графика. Обычно график имеет четкий разрыв между крутой частью кривой, где факто-

рам свойственны большие собственные значения, и плавной хвостовой частью кривой, связан-

ной с остальными факторами (в этом месте убывание собственных значений факторов слева

направо максимально замедляется). Это плавное убывание собственных значений называется

осыпь (scree). Опыт показывает, что точка, с которой начинается осыпь, указывает на действи-

тельное число факторов. Обычно число факторов, определенное по графику "каменистой осы-

726 Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных

пи'", на единицу или несколько единиц больше числа факторов, полученных методом, осно-

ванным на собственных значениях.

Определение на основе процента объясненной дисперсии. В этом методе число выделяемых

факторов определяют так. чтобы кумулятивный процент дисперсии, выделяемой факторами,

достиг удовлетворительного уровня. Какой уровень дисперсии считать удовлетворительным,

зависит от поставленной задачи. Однако рекомендуется выделять такое число факторов, кото-

рое объясняют, по крайней мере, 60% дисперсии.

Определение, основанное на оценке надежности, выполняемой расщеплением. В этом методе

выборку расщепляют напополам и факторный анализ выполняют для каждой половины. При

этом оставляют только факторы с высокой степенью соответствия факторных нагрузок в двух

подвыборках.

Определение, основанное на критериях значимости. Можно определить статистическую зна-

чимость отдельных собственных значений и оставить только статистически значимые факто-

ры. Недостаток этого метода в том, что при больших размерах выборок (больше 200) многие

факторы, вероятно, статистически значимые, хотя с практической точки зрения, многие из них

объясняют небольшую долю полной дисперсии.

В табл. 19.3, исходя из собственных значений факторов, превышающих единицу (по умол-

чанию), будет выделено два фактора. Из опыта (предварительная информация) мы знаем, что

зубную пасту покупают по двум основным причинам. График "каменистой осыпи" приведен

на рис. 19.2.

3.0

2,5

2,0

1.5

1.0

0,5

0.0

2 3 4 5 6

Число факторов

Рис. 19.2, График "каменистойосыпи"

На графике четкий разрыв виден в области трех факторов. И наконец, из значения кумуля-

тивного процента объясненной дисперсии видно, что два первых фактора объясняют 82,49%

дисперсии, и увеличение этого значения при переходе к трем факторам будет предельным.

Кроме того, метод расщепления выборки также указывает на два фактора. Таким образом, в

данной ситуации целесообразно рассмотреть два фактора.

Во второй колонке части табл. 19.3 под названием "Общности" дана информация после вы-

деления желаемого числа факторов. Общности в колонке "Выделенная" отличаются от значе-

ний в колонке "Начальная", поскольку всю дисперсию, соответствующую этим переменным,

нельзя объяснить, если не оставить в модели все факторы. В части таблицы под названием

"Сумма квадратов нагрузок выделенных факторов" даны дисперсии, соответствующие факто-

Глава 19. Факторный анализ 727

рам, которые оставили в модели. Обратите внимание, что их значения совпадают со значения-

ми дисперсий в колонке "Исходные собственные значения". Это характерно для анализа глав-

ных компонент. Процент дисперсии, объясненной фактором, определяют, разделив соответст-

вующее собственное значение на число факторов и умножив полученное значение на 100. Та-

ким образом, первый фактор объясняет (2,731/6) х 100, или 45,52%, от дисперсии,

соответствующей шести переменным. Аналогично, второй фактор объясняет (2,218/6) х 100,

или 36,969% полной дисперсии. Интерпретация решения часто становится более ясной после

вращения факторов.

Вращение факторов

Важный результат факторного анализа— матрица факторных нагрузок, также называемая

матрицей факторного отображения (factor pattern matrix). Она содержит коэффициенты, ис-

пользуемые для выражения нормированных переменных через факторы. Эти коэффициенты,

называемые факторными нагрузками, представляют корреляции между факторами и перемен-

ными. Коэффициент с высоким абсолютным значением показывает, что фактор и переменная

тесно взаимосвязаны. Коэффициенты матрицы факторных нагрузок можно использовать для

интерпретации факторов.

Несмотря на то, что матрица исходных или неповернутых факторов указывает на взаимо-

связь факторов и отдельных переменных, она редко приводит к факторам, которые можно ин-

терпретировать, поскольку факторы коррелируют со многими переменными. Например, в

табл. 19.3 фактор 1, по крайней мере, частично связан с пятью из шести переменных

(абсолютное значение факторной нагрузки больше 0,3). Как интерпретировать этот фактор? В

такой сложной матрице это трудно. Поэтому вращением матрицу факторных коэффициентов

преобразуют в более простую, которую легче интерпретировать.

При вращении факторов желательно, чтобы каждый фактор имел ненулевые или значи-

мые нагрузки (коэффициенты) только для небольшого числа переменных. Аналогично, же-

лательно, чтобы каждая переменная имела ненулевые или значимые нагрузки с небольшим

числом фактором, если можно, то с одним фактором. Если несколько факторов имеют высо-

кие значения факторных нагрузок с одной и той же переменной, то их трудно интерпретиро-

вать. Вращение не влияет на общности и процент объясненной полной дисперсии. Однако

процент дисперсии, обусловленной влиянием каждого фактора, изменяется. Это видно из

данных табл. 19.3. В результате вращения дисперсия, объясняемая каждым фактором, пере-

распределилась. Следовательно, разные методы вращения помогают интерпретировать раз-

личные факторы.

Вращение называют ортогональным вращением (orthogonal rotation), если при вращении со-

храняется прямоугольная система координат.

Ортогональное вращение (orthogonal rotation)

Вращение факторов, при котором сохраняется прямоугольная система координат.

Самый распространенный метод вращения — метод варимакс (вращение, максимизирующее

дисперсию) (varimax procedure).

Метод варимакс, или вращение, максимизирующее дисперсию) (varimax procedure)

Ортогональный метод вращения факторов, который минимизирует число переменных с вы-

сокими значениями нагрузок, усиливая тем самым интерпретируемость факторов.

Это ортогональный метод вращения, который минимизирует число переменных с высоки-

ми значениями нагрузок, усиливая тем самым интерпретируемость факторов [9]. В результате

ортогонального вращения получают некоррелированные факторы. Вращение называют косо-

угольным вращением (oblique rotation), если не сохраняется прямоугльная система координат и в

результате вращения получают коррелированные факторы.

728 Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных

Косоугольное вращение (oblique rotation)

Вращение факторов, при котором не сохраняется прямоугольная система координат.

Иногда, допустив некоторую корреляцию между факторами, можно упростить матрицу

факторной модели. Косоугольное вращение используется тогда, когда факторы в генеральной

совокупности, вероятно, тесно взаимосвязаны.

Сравнив в табл. 19.3 матрицу факторных нагрузок, полученную после применения метода

врашения варимакс, с матрицей факторных нагрузок до вращения (часть таблицы под назва-

нием "Матрица факторных нагрузок"), мы увидим, как вращение упрощает и усиливает ин-

терпретируемость факторов. В то время как в неповернутой матрице пять переменных коррели-

руют с фактором I, после вращения с фактором 1 коррелируют только переменные Уг, V3, У5.

Остальные переменные Уъ У4 и У6 коррелируют с фактором 2. Более того, ни одна из перемен-

ных не коррелирует достаточно сильно с обоими факторами. Повернутая матрица создает осно-

ву для интерпретации факторов.

-

Интерпретация факторов

Для интерпретации факторов необходимо определить переменные, которые имеют высокие

значения нагрузок по одному и тому же фактору. А затем этот фактор следует проанализировать

с учетом этих переменных. Другое полезное средство интерпретации — графическое изображе-

ние переменных, координатами которых служат величины факторных нагрузок. Так, в конце

оси расположены переменные, которые имеют большие нагрузки только в связи с этим факто-

ром и, следовательно, характеризуют его. Переменные в начале координат имеют небольшие

нагрузки в связи с обоими факторами. Переменные, расположенные вдали от осей, связаны с

обоими факторами. Если фактор нельзя четко определить с точки зрения связи с исходными

переменными, то его следует пометить как неопределяемый или генеральный (общий для всех

переменных).

-0,5'

я1

-1.0 -0,5 0,0 0,5 1

Фам op 1

Рис, 19.3. Диаграмма факторных нагрузок

В повернутой матрице из табл. 19.3 фактор 1 имеет высокие коэффициенты для перемен-

ных Г, (предотвращение кариеса), К, (укрепление десен), и отрицательный коэффициент для

переменной К5 (предотвращение порчи зубов не считается важным при покупке зубной пасты).

Следовательно, этот фактор можно назвать фактором, укрепляющим здоровье. Обратите вни-

мание, что отрицательный коэффициент для негативной переменной К5 ведет к положитель-

ной интерпретации этого фактора, а именно, предотвращение порчи зубов будет важным при

покупке зубной пасты. Фактор 2 тесно связан с переменными К2 (белизна зубов), Vt (свежее

дыхание) и К6 (привлекательность внешнего вида зубов). Таким образом, фактор 2 можно по-

Глава 19. Факторный анализ 729

метить как фактор, отвечающий за внешний вид. Диаграмма факторных нагрузок на рис. 19.3

подтверждает эту интерпретацию факторов.

Переменные FJ, К3, Vs (обозначенные на диаграмме 1, 3 и 5 соответственно) находятся на

конце горизонтальной оси, причем точка, соответствующая К5, находится на конце, противо-

положном месту расположения точек, соответствующих V{ и У3. В то же время переменные У2,

К4 и Vb (обозначенные на диаграмме 2, 4 и 6 соответственно) расположены на конце вертикаль-

ной оси (фактор 2). Можно обобщить данные, сделав вывод, что потребители, по-видимому,

стремятся извлечь двойную пользу из зубной пасты: укрепить здоровье и приобрести хороший

внешний вид.

Вычисление значения фактора

После интерпретации факторов необходимо вычислить их значения. Факторный анализ

имеет собственную ценность. Однако если цель факторного анализа заключается в снижении

исходного числа переменных до небольшого набора составных переменных (факторов), кото-

рые в дальнейшем используются в многомерном анализе, то имеет смысл вычислить для каж-

дого респондента значение фактора. Фактор представляет собой линейную комбинацию ис-

ходных переменных. Значение для /-го фактора можно вычислить по формуле

Обозначения в этой формуле аналогичны приведенным выше.

Веса или коэффициенты значения фактора, используемые для объединения нормирован-

ных переменных, получают из матрицы коэффициентов значения фактора. Большинство ком-

пьютерных программ позволяет вычислить значения факторов. Только в анализе главных ком-

понент можно вычислить точные значения факторов.

Значение фактора (factor scores)

Суммарное значение, полученное для каждого респондента на основании всех факторов.

Более того, в анализе главных компонент эти значения не взаимосвязаны. В анализе общих

факторов оценки значений факторов получают, но нет гарантии, что факторы не будут корре-

лировать между собой. Значения факторов можно использовать вместо исходных переменных в

последующем многомерном анализе. Например, используя матрицу коэффициентов значения

фактора в табл. 19.3, можно вычислить два значения фактора для каждого респондента. Если

нормированные значения переменной умножить на соответствующий коэффициент значения

фактора, то получится значение данного фактора.

Отбор переменных-заменителей

Иногда, вместо вычисления значений факторов, исследователь может выбрать перемен-

ные-заменители. Выбор переменных-заменителей (surrogate variables), заключается в выделении

нескольких из исходных переменных для использования их в последующем анализе,

Переменные-заменители (surrogate variables)

Часть набора исходных переменных, выбранных для последующего анализа.

Это позволит выполнить последующий анализ и интерпретировать результаты с точки зре-

ния исходных переменных, а не значения факторов. Из матрицы факторных коэффициентов

можно выбрать для каждого фактора переменную с наивысшим значением нагрузки на дан-

ный фактор. Затем эту переменную используют в качестве перемен ной-заменителя для соответ-

ствующего фактора. Этот процесс протекает гладко, если одна из факторных нагрузок перемен-

ной значительно выше остальных. Однако сделать выбор не так легко, если нагрузки двух или

больше переменных одинаково высокие. В таком случае выбор осуществляют, исходя из теоре-

730 Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных

тических предпосылок. Например, теоретически предполагают, что переменная с несколько

меньшей нагрузкой важнее, чем переменная с несколько большей нагрузкой. Аналогично, если

переменная имеет несколько меньшую, но более точно измеренную нагрузку, то в качестве пе-

ременной-имитатора следует выбрать именно ее. В табл. 19.3 переменные V}, V^ и ¥s имеют вы-

сокие нагрузки в связи с фактором 1, причем достаточно близкие по величине. Переменная F,

имеет относительно самое высокое значение и поэтому должна была бы оказаться вероятным

кандидатом в переменные-имитаторы. Однако, исходя из предварительной информации, са-

мым важным при выборе зубной пасты является ее способность предотвращать порчу зубов, и

поэтому в качестве переменной-заменителя для фактора 1 должна быть выбрана переменная У5.

Осуществить выбор переменной-заменителя для фактора 2 также непросто. Переменные Уг, К,

и Vk имеют сопоставимо высокие значения нагрузок на этот фактор. Если предварительная ин-

формация свидетельствует, что привлекательность внешнего вида зубов — важнейший аспект

общего внешнего вида, то следует выбрать переменную Vb.

Определение подгонки модели

Последняя стадия факторного анализа заключается в определении соответствия модели

факторного анализа исходным данным, т.е. степени ее подгонки. Основное допущение, лежа-

щее в основе факторного анализа, состоит в том, что наблюдаемая корреляция между перемен-

ными может быть свойственна общим факторам. Следовательно, корреляции между перемен-

ными можно вывести или воспроизвести из определенных корреляций между переменными и

факторами. Изучив разности между наблюдаемыми корреляциями (данными в исходной кор-

реляционной матрице) и вычисленными корреляциями (определенными из матрицы фактор-

ных нагрузок), можно определить соответствие модели исходным данным. Эти разности назы-

вают остатками (residuals). Если много остатков с большими значениями, то факторная модель

не обеспечивает хорошее соответствие данным и требует пересмотра. Из данных табл. 19.3 вид-

но, что только значение пяти остатков превышает 0,05, свидетельствуя тем самым о приемле-

мом соответствии модели данным.

Следующий пример иллюстрирует анализ главных компонент с точки зрения продвижения

товара.

ПРИМЕР. Компоненты, влияющие на продвижение на рынок промышленных

товаров

Цель этого исследования — определить достаточно большой набор контролируемых

производителем переменных, имеющих отношение к продвижению его товаров в рознич-

ную торговую сеть, и показать, что существует связь между этими переменными и реше-

нием розничного торговца о поддержке усилий производителя по продвижению товара.

Решения о поддержке определяли по отношению розничного торговца к усилиям по про-

движению товара.

Факторный анализ выполнили по объясняющим переменным, руководствуясь главной

целью — снизить количество переменных. Методом главных компонент с использованием

метода вращения варимакс уменьшили 30 объясняющих переменных до 8 факторов с собст-

венными значениями выше 1,0. Для интерпретации каждый фактор включал в себя пере-

менные с нагрузками на этот фактор от 0,40 и выше. В двух случаях, когда переменные име-

ли нагрузки 0,40 и выше на два фактора, каждой переменной присвоили один фактор, на-

грузка на который была выше. Только одна переменная "легкость погрузочно-раэгрузочных

работ, накопление запасов в торговых точках" не имела нагрузки, по крайней мере, равной

0,4, ни на один из факторов. В целом, 8 факторов объясняли 62% суммарной дисперсии.

Интерпретация матрицы факторных нагрузок оказалась несложной. В табл. 1 перечислены

факторы в порядке их выделения.

Глава 19. Факторный анализ 731

Таблица 1. Факторы, влияющие на принятие решения о поддержке в продвижении товара

фактор Интерпретация фактора Нагрузка Переменные, включенные в фактор

(объясненный процент дисперсии)

F,

Важность товара (16,3%)

Эластичность продвижения товара на

рынок (9,3%)

Поддержка торговой марки произво-

дителем (8,2%)

Репутация производителя (7,3%)

0,В5

0,81

0,80

0,75

О 72

0,72

0,64

0,55

0,51

0,93

-0,81

0,69

0,46

0,79

0,72

0,49

0,83

0,81

0,49

Приводится по объективным показателям.

Истощение продвижения товара

(6,4%)

Оборачиваемость продаж (5,4%)

Рентабельность товара (4,5%)

Сумма поощрения (4,2%)

0,77 Товар достаточно важен для того, чтобы гарантировать

его продвижение

0,75 Данная категория товара хорошо реагирует на рекламу

0,66 Вероятно, наиболее близкий конкурент занимается про-

движением данного товара

0,64 Значимость продвигаемой категории товара

0,59 Товар имеет постоянный объем продаж

0,57 Сделка соответствует требованиям обеспечения продви-

жения товара

Оценка покупателями увеличения объема продаж основа-

на на следующем:

0,86 Снижение цены и демонстрация товара

0,82 Только демонстрация товара

0,80 Только снижение цены

0,70 Снижение цены, демонстрация, рекламная кампания

Поддержка торговой марки производителем в форме:

Купонов

Радио- и телевизионной рекламы

Рекламы в газетах

Содействие продвижению товара в местах его продажи

(например, выставки)

Общая репутация производителя

Производитель идет навстречу пожеланиям торговли

Производитель сотрудничает с продавцом в случае экс-

тренных заказах, встречного пробега и т.д.

Качество представления продаж

Суммарное качество товара производителя

Чрезмерное продвижение категории

Избыток конкретного товара

Ранг доли рынка торговой марки3

Постоянный объем продаж (данного) товара3

Постоянный объем продаж (данного) товара

Постоянная валовая прибыль (от продажи) товара

Постоянная валовая прибыль (от продажи) товара3

Разумность требований по выполнению соглашения

Абсолютная сумма скидок по соглашениям

Скидки по соглашениям как процент регулярной торговой

стоимости(цены)а

Абсолютная сумма скидок по соглашениям3

732 Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных

Для того чтобы определить, какой из восьми факторов (если такой фактор существует)

предсказывает содействие продвижению товара на рынок в статистически значимой степе-

ни, выполнен пошаговый дискриминантный анализ. Значения всех восьми факторов вы-

ступают объясняющими переменными. Зависимая переменная состоит из оценки

(рейтинга) розничным торговцем деловых отношений с производителем, которую разбива-

ют на три группы, в зависимости от степени содействия в продвижении товара (низкая,

средняя, высокая). Результаты дискриминантного анализа приведены в табл. 2.

Таблица 2. Результаты дискриминантного анализа: анализ по рейтингу

и эффективности (п = 564)

Нормированные коэффициенты дискриминантной функции

Фактор Функция 1 Функция Z

F\ Важность товара 0,861 - 0,253

FZ Эластичность продвижения товара на рынок 0,081 0,398

FS Поддержка торговой марки производителем 0,127 -0,036

Репутация производителя 0,394 0,014

Истощение продвижения товара - 0,207 0,380

| Fe Оборачиваемость продаж 0,033 - 0,665

j FT Рентабельность товара 0,614 0,357

Сумма поощрения 0,461 0,254

Коэффициент А, (для каждого фактора) — все значимы при р < 0,001

Значения F-статистик для многомерной выборки — все значимы при р < 0,001

1 Процент правильно классифицированных случаев — 65% (t = 14,4; р < 0,001)

Все восемь факторов присутствуют в дискриминантных функциях. Критерии согласия

i указали на то, что все восемь факторов дискриминировали (различали) высокий, средний и

| низкий уровни содействия продажи товара,.^-статистики для многомерной выборки, ука-

? зываюшие на степень дискриминации между каждой парой групп, были значимыми при р

I < 0,001. 65% случаев было верно отнесено к высокому, среднему и низкому уровню содейст-

| вия продвижению товаров. Использовался порядок введения в дискриминантный анализ.

I Для того чтобы определить относительную важность факторов, влияющих на содействие

i торговле, факторы в дискриминантную функцию вводили в порядке, указанном в

j табл. 3 [10],

I Таблица 3. Относительная важность факторов, влияющих на содействие торговле

i (показано с помощью порядка ввода в дискриминантный анализ)

I Анализ рейтинга

I Порядок ввода Название фактора

1 Важность товара

2 Эластичность продвижения товара на рынок

3 Поддержка торговой марки производителем

4 Репутация производителя

15 Истощение продвижения товара

о Оборачиваемость продаж

7 Рентабельность товара

Сумма поощрения

В следующем разделе описан анализ общих факторов с примерами применения этого метода.

Глава 19. Факторный анализ 733

ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИЗА ОБЩИХ ФАКТОРОВ

Данные табл. 19.1 можно проанализировать, используя модель анализа общих факторов.

С этой целью в диагональ матрицы вместо единиц вставили общности (относительные диспер-

сии общих факторов). Результаты, представленные в табл. 19.4, аналогичны результатам, полу-

ченным в ходе анализа главных компонент, приведенным в табл. 19.3.

Таблица 19,4. Результаты анализа общих факторов

Критерий сферичности Бартлетта

Приближенное значение статистики хи-квадрат~ 111,314; число степеней свободы- 15; значимость —0,00000

Критерий адекватности выборки Кайзера-Мейера-Олкина — 0,660

Общности

Переменная Начальная Выделенная

V,

ъ

V,

VA

V*

V,

0,856

0,480

0,814

0,543

0,763

0,587

0,928

0,562

0,836

0,600

0,789

0,723

Исходные собственные значения

Фактор Собственное значение Процент дисперсии Кумулятивный процент

2,731

2,218

0,442

0,341

0,183

0,085

45,520

36,969

7,360

5,688

3,044

1,420

45,520

82,488

89,848

95,536

98,580

100,000

Сумма квадратов нагрузок для выделенных факторов

Фактор Собственное значение Процент дисперсии Кумулятивный процент

1 2,570

2 1,868

Матрица факторных нагрузок

Фактор 1

И

Ъ

^4 V,

V,

0,949

- 0,206

0,914

-0,246

-0,850

-0,101

42,837

31,126

Фактор 2

0,168

0,720

0,038

0,734

- 0,259

0,844

42,837

73,964

Суммы квадратов факторных нагрузок после вращения факторов

Фактор Собственное значение Процент дисперсии Кумулятивный процент

2,541

1,897

42,343

31,621

42,343

73,964

734 Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных

Окончание табл. 19.4

Матрица факторных нагрузок после вращения факторов

Фактор 1

V, 0,963

И2 - 0,054

Из 0,902

И4 - 0,090

1/5 - 0,885

1/6 0,075

Матрица коэффициентов значения факторов

Фактор 1

YI 0,628

V2 - 0,024

Из 0,217

И* -0,023

1/5 -0,166

И6 0,083

Вычисленная корреляционная матрица

V, Уг

И, 0,928' 0,022

Иг - 0,075 0,562*

И3 0,873 -0,161

И* -0,110 0,580

И5 -0,850 -0,012

И6 0,046 0,629

Фактор 2

- 0,030

0,747

-0,150

0,769

- 0,079

0,847

Фактор 2

0,101

0,253

-0,169

0,271

- 0,059

0,500

V3 V< VS VS

-0,000 0,024 -0,008 -0,042

0,006 -0,008 0,031 0,012

0,836' - 0,051 0,008 0,042

-0,197 0,600* -0,025 -0,004

-0,786 0,019 0,789* -0,003

-0,060 0,645 -0,133 0,723*

'Нижний левый треугольник содержит вычисленную корреляционную матрицу; диагональ — общности; верхний правый тре-

угольник — остатки между наблюдаемыми и вычисленными корреляциями.

В колонке "Начальная" той части таблицы, которая озаглавлена "Общности", значения

общностей для переменных не превышают 1,0. Исходя из критерия собственного значения,

снова (как и в анализе главных компонент) выделили два фактора. Значения дисперсий после

выделения факторов отличались от их исходных собственных значений. Первый фактор объ-

ясняет 42,84% дисперсии, а второй — 31,13%, в каждом случае немного меньше, чем это на-

блюдалось в анализе главных компонент.

Значения факторных нагрузок в матрице факторной модели до вращения факторов, дан-

ные в табл. 19.4, немного отличаются от значений факторных нагрузок в табл. 19.3, хотя

структура нагрузок аналогична. Однако иногда структура нагрузок в анализе общих факто-

ров отличается от таковой в анализе главных компонент по некоторым нагрузкам перемен-

ных на различные факторы. Матрица факторной модели после вращения факторов имеет

структуру нагрузок, аналогичную структуре нагрузок в табл. 19.3, что приводит к аналогич-

ной интерпретации факторов.

Рассмотрим еще один пример анализа общих факторов в контексте восприятия потребите-

лями скидок.

Глава 19. Факторный анализ 735

ПРИМЕР. Восприятие скидок

Скидки — эффективное средство привлечения новых потребителей, переключения их на

другую торговую марку и стимул для повторных покупок. Маркетологи определили и иссле-

довали факторы, лежащие в основе восприятия потребителями скидок. Для этого разработа-

ли анкету из 24 утверждений, которые отражали потребительское восприятие. Далее респон-

дентов попросили выразить степень согласия с этими утверждениями по пятибалльной

шкале Лайкерта. Данные собрали в Мемфисе по телефону. Всего было получено 303 анкеты.

24 утверждения, измеряющие восприятие потребителями скидок, проанализировали

методом общих факторов. Первоначальный вариант полученных факторов не выявил

простой структуры латентных переменных. Поэтому переменные с низкими нагрузками

удалили из шкалы и выполнили факторный анализ по оставшимся пунктам. Это второе

решение привело к трем интерпретируемым факторам. Факторные нагрузки даны в рас-

положенной ниже таблице.

Факторный анализ восприятий скидок

Оцениваемые пункты' Факторные нагрузки

Фактор 1 Фактор 2 Фактор 3

Производители слишком усложняют процесс скидок 0,194 0.671 ~ QJ27

Почтовые скидки не стоят хлопот, связанных с ними - 0,031 0,612 0,352

Слишком много времени занимает получение чека на скидку от производителя 0,013 Q.71B 0,051

Производители могли бы делать больше для облегчения процесса использования 0,205 (Щ6 0,173

скидок

Производители предлагают скидки, поскольку потребителям это нравится" 0,660 0,172 0,101

В настоящее время производители заинтересованы в благосостоянии потребителей" 0L5_6_9 0,203 0,334

Выгода для потребителей обычно стоит на первом месте при предложении скидок" 0,660 0,002 0,318

В целом, производители искренни в своем предложении скидок потребителям" 0,716 0,047 - 0,033

Производители предлагают скидки, чтобы побудить потребителей купить что-то, в 0,099 0,156 0.744

чем они на самом деле не нуждаются

Производители используют предложения скидок, чтобы заставить потребителей 0,090 0,027 0.702

купить неходовой товар

Предложение скидки провоцирует вас купить продукт, больше необходимого коли- 0,230 0,066 0.527

чества!

Собственные значения 2,030 1,344 1,062

Процент объясненной дисперсии 27,500 12,2 9,700

'Категориями ответов для всех пунктов были: полностью согласен (1}, согласен (2), и не то, чтобы да, и не то, чтобы нет (3),

не согласен)4|, совсем не согласен (5), не знаю (6). Ответы "Не знаю" исключили из анализа.

"Баллы ло этим пунктам изменили на противоположные.

Три фактора включали четыре, четыре и три пункта соответственно (соответствующие фак-

торные нагрузки в таблице подчеркнуты). Фактор 1, по представлению маркетологов, воплотил

в себе потребительское восприятие усилий и трудностей, связанных со скидками (усилия).

Фактор 2 представляет потребительское доверие к системе скидок (доверие). Фактор 3 пред-

ставляет восприятие потребителями мотивов производителей для предложения скидок

(мотивы). Нагрузки пунктов на соответствующие факторы варьируют от 0,527 до 0,744 [И].

Обратите внимание, что в этом примере, когда первоначальное решение для фактора оказа-

лось неинтерпретируемым, пункты с небольшими нагрузками были исключены, и факторный

анализ выполнили по оставшимся пунктам. Если число переменных велико (больше 15), ана-

лиз главных компонент и анализ общих факторов приводят к одинаковым решениям. Однако

736 Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных

анализ главных компонент меньше подвержен ошибочной интерпретации, и поэтому его ре-

комендуют неопытным аналитикам. Врезка 19.1 "Практика маркетинговых исследований" ил-

люстрирует применение анализа главных компонент в международных маркетинговых иссле-

дованиях [12], а врезка 19.2 "Практика маркетинговых исследований" представляет приложе-

ние факторного анализа к изучению проблем этики [13].

Врезка 19.1. Практика маркетинговых исследований

Секреты "жуков"

Со временем потребности и вкусы потребителей обычно меняются. Предпочтения по-

требителей по отношению к автомобилям следует постоянно отслеживать для определения

Поиск по сайту: