IV. Формирование умений и навыков. На этом уроке учащиеся решают приведённые и неприведённые квадратные уравнения с помощью теоремы, обратной теореме Виета

На этом уроке учащиеся решают приведённые и неприведённые квадратные уравнения с помощью теоремы, обратной теореме Виета.

На первых порах учащимся может быть трудно подбирать корни устно, поэтому стоит предложить им обозначать корни уравнения и записывать соответствующие равенства.

Обратить внимание учащихся, что подбор корней начинаем с оценивания произведения корней, то есть находим делители свободного члена квадратного уравнения.

1. № 586.

Р е ш е н и е

Пусть х ₁ = 12,5 и х ₂ – корни уравнения х ² – 13 х + q = 0,

тогда х ₁ + х ₂ = 13 и х ₁ · х ₂ = q.

Имеем 12,5 + х ₂ = 13, значит, х ₂ = 13 – 12,5, х ₂ = 0,5.

Тогда 12,5 · 0,5 = q, q = 25.

О т в е т: х ₂ = 0,5; q = 25.

2. № 587.

Р е ш е н и е

Пусть х ₁ = 8 и х ₂ – корни уравнения 5 х ² + bx + 24 = 0,

тогда х ₁ + х ₂ = – , х ₁ ∙ х ₂ = .

Имеем 8 ∙ х ₂ = , значит, х ₂ = .

Тогда 8 + = – , 8,6 = –0,2 ∙ b, b = –43.

О т в е т: х ₂ = 0,6; b = –43.

3. № 589, № 590 – самостоятельно.

4. № 593 (а), № 594 (а, д, е), № 595 (б, д, е).

5. № 675.

После выполнения этого упражнения можно рассмотреть с учащимися два способа нахождения корней квадратного уравнения, вытекающие из теоремы Виета.

1-й с п о с о б. Если в квадратном уравнении ax ² + bx + c = 0 сумма коэффициентов равна нулю, то х ₁ = 1, х ₂ = .

2-й с п о с о б. Если в квадратном уравнении ax ² + bx + c = 0 сумма коэффициентов а и с равна коэффициенту b, то х ₁ = –1, х ₂ = – .

В буквенном виде это может быть записано так:

ax 2 + bx + c = 0
Если a + b + c = 0, то х 1 = 1; х 2 = .	Если a + c = b, то х 1 = –1; х 2 = – .

6. Сильным в учебе учащимся можно предложить для решения задачи повышенной трудности.

№ 591.

Р е ш е н и е

Пусть х ₁, х ₂ – корни уравнения х ² + 2 х + q = 0.

По теореме Виета: х ₁ + х ₂ = –2 (1) и х ₁ · х ₂ = q (2).

По условию = 12. (Через х ₁ обозначим больший корень.) Значит, по формуле сокращенного умножения:

(х ₁ – х ₂) (х ₁ + х ₂) = 12;

(х ₁ – х ₂) · (–2) = 12;

х ₁ – х ₂ = –6;

х ₁ = х ₂ – 6.

Подставим в первое равенство вместо х ₁ его значение:

х ₂ – 6 + х ₂ = –2;

2 х ₂ = 4;

х ₂ = 2.

Вычислим х ₁ = 2 – 6 = –4.

Из второго равенства найдём q = –4 · 2, q = 8.

О т в е т: q = 8.

Поиск по сайту: