 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Дотична пряма просторової кривої
| Дотичною прямою до кривої в її даній точці називається граничне положення січної, яка проходить через дану точку та іншу точку кривої, яка необмежено наближається вздовж кривої до даної точки. |
В диференціальній геометрії використовується ще одне означення
|
|
|
|
|
|
| Рис.8 |
Нехай 
– дана крива, 
; l – пряма, 
.
Візьмемо точку 
і позначимо її відстані: d – відстань Q від 
(
), h – відстань Q від l.
Якщо 
і 
– кут між прямими l і 
, то 
– показник співпадання січної з l.
Граничне положення січної при є дотичною до 
в точці 
, при цьому 
.
Пряма l називається дотичною до кривої в точці  , якщо  .
|
Теорема 5.Гладка крива, задана рівнянням  ,  , у кожній своїй точці  має єдину дотичну, яка паралельна вектору  .
|
| Рис.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| l |
в точці 
має дотичну l.
Нехай 
– одиничний вектор дотичної в точці , точкам і Q кривої відповідають значення 
і 
:
, 
.
.
, де 
– площа паралелограма, побудованого на векторах 
і 
.
За означенням дотичної: 
. (5)
Потрібно перейти до границі при 
. Але у виразі для 
немає 
. Поділимо чисельник і знаменник на 
: 
.
Звідси 
, оскільки 
.
Таким чином, якщо дотична l існує, то вона має напрям вектора 
. Точка і вектор 
визначають єдину дотичну.
2) Існування дотичної. Дотична визначається точкою і напрямним вектором. З попередніх записів видно, що таким вектором може бути одиничний вектор, колінеарний вектору . Справді, розглянемо вектор 
і запишемо 
для прямої з таким напрямним вектором:
; 
.
Це і означає, що пряма, яка визначається точкою і напрямом 
, є дотичною. ■
Зауваження. Тепер зрозумілий зміст обмеження 
в означенні регулярної кривої. Це обмеження еквівалентне вимозі існування дотичної до кривої (напрям нульового вектора невизначений).
Знайдемо рівняння дотичної прямої для різних способів задання регулярної просторової кривої в точці .
а) Крива задана параметричним рівнянням у векторній формі: 
(рис. 10).
| Рис.10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 
,
(6)
б) Крива задана параметричними рівняннями в скалярній формі 
Позначимо координати точок і M: 
, 
та скористаємось пропорційністю відповідних координат колінеарних векторів:
(
)
в) Криву задано як перетин двох поверхонь: 
де функції 
неперервні разом з їх частинними похідними в деякому околі точки 
.
Припустимо, що в точці кривої 
ранг матриці 
дорівнює 2. Це умова того, що в точці 
існує окіл, усі точки якого утворюють регулярну елементарну криву.
Нехай 
– регулярна параметризація цієї ж кривої в околі точки .
Підставивши ці функції в ліві частини рівнянь 
одержимо тотожності 
Продиференціюємо ці рівності по t, застосовуючи правило диференціювання складеної функції від трьох змінних:
Ліві частини рівностей містять дві групи величин:
– похідні від координат в точці 
;
– частинні похідні від функцій, які визначають поверхні і обчислюються в точці 
.
Складемо матрицю з елементів другої групи: 
.
Оскільки її ранг дорівнює 2, то розв’язки однорідної системи можна подати через відношення визначників 2го порядку, складених з елементів матриці А:
.
Підставимо в рівняння (6') замість 
, 
, 
величини, їм пропорційні:
. (6")
Задача. Знайти рівняння дотичної в точці (a,0,0) до гвинтової лінії 
Розв’язання. Даній точці відповідає значення t=0.
; 
; 
.
У відповідності з (6') запишемо рівняння дотичної: 
.
Відповідь: .
Поиск по сайту: