ПРОГРАМА КУРСУ

«ДИФЕРЕНЦІАЛЬНА ГЕОМЕТРІЯ ТА ТОПОЛОГІЯ»

Змістовий модуль 1. Теорія кривих в евклідовому просторі

Тема 1. Вектор-функція скалярного аргументу.

Означення вектор-функції скалярного аргументу. Годограф вектор-функції. Границя векторної функції. Похідна вектор-функції. Формула Тейлора. Інтеграл від вектор-функції.

Тема 2. Поняття кривої. Регулярна крива і способи її задання.

Елементарна крива. Проста крива. Загальна крива. Регулярна крива. Способи аналітичного задання кривої. Особливі точки плоских регулярних кривих.

Тема 3. Дотична пряма кривої і супровідний тригранник кривої.

Дотична пряма кривої. Стична площина кривої. Головна нормаль і бінормаль кривої. Тригранник Френе.

Тема 4. Поняття теорії кривих, пов’язані з поняттями кривини та скруту.

Довжина дуги кривої. Природна параметризація. Кривина кривої. Скрут кривої. Формули Френе. Натуральні рівняння кривої.

Змістовий модуль 2. Теорія поверхонь в евклідовому просторі

Тема 5. Поняття поверхні. Дотична площина та нормаль поверхні.

Елементарна поверхня. Проста поверхня. Загальна поверхня. Регулярна поверхня. Способи аналітичного задання регулярної поверхні. Координатна сітка поверхні. Дотична площина і нормаль поверхні.

Тема 6. Перша квадратична форма поверхні та пов’язані з нею питання теорії поверхонь.

Перша квадратична форма поверхні. Довжина кривої на поверхні. Кут між кривими на поверхні. Площа області на поверхні.

Тема 7. Друга квадратична форма поверхні та пов’язані з нею питання теорії поверхонь.

Друга квадратична форма поверхні. Кривина кривої, що лежить на поверхні. Теорема Меньє. Головні напрями і головні кривини, формула Ейлера. Гаусова і середня кривина поверхні. Класифікація точок поверхні.

Тема 8. Визначні лінії на поверхні.

Лінії кривини. Асимптотичні напрями та асимптотичні лінії. Геодезичні лінії, механічний зміст геодезичних, екстремальна властивість геодезичних.

Тема 9. Поняття про внутрішню геометрію поверхні.

Предмет внутрішньої геометрії поверхні. Ізометричні поверхні, згинання. Гаусова кривина як об’єкт внутрішньої геометрії поверхні. Теорема Гауса-Боне, дефект геодезичного трикутника. Геометрія на поверхнях сталої гауссової кривини. Реалізація в малому геометрії Лобачевського на псевдосфері.

Змістовий модуль 3. Елементи топології

Тема 10. Метричні і топологічні простори

Метричні простори: аксіоми, приклади, ізометрія.

Топологічні простори: аксіоми, приклади. Властивості відкритих множин.

Деякі поняття топологічного простору: окіл точки; внутрішня, межова, зовнішня, гранична точки; підпростір топологічного простору; базис топологічного простору. Замкнені множини та їх властивості. Замикання множини та його властивості. Аксіома віддільності, хаусдорфові простори.

Тема 10. Відображення топологічних просторів

Неперервні відображення та їх властивості. Гомеоморфні відображення. Проблема гомеоморфізму. Деякі інваріанти топологічних перетворень: відкритість (замкненість), зв’язність, лінійна зв’язність, кількість компонент, розбиваючі та нерозбиваючі точки, компактність.

Тема 11. Топологічні многовиди

Топологічні многовиди. Вкладення, занурення, еквівалентні занурення. Загальне означення поверхні, проста, загальна, замкнена поверхні, поверхня з краєм, приклади. Найпростіші поверхні: сфера з ручками, листок Мебіуса, сфера з листками Мебіуса. Клітинне розбиття поверхні, орієнтовні та неорієнтовні поверхні. Односторонні та двосторонні поверхні. Теорема Ейлера. Топологічна класифікація замкнених поверхонь. Ейлерова характеристика многовиду.

Топологічна класифікація многогранників. Правильні многогранники.

Поиск по сайту: