Поняття кривої

Поняття кривої є одним із основних в диференціальній геометрії. Спочатку цьому поняттю не давали точного математичного означення. Евклід (III ст.до н.е.) у своїх «Початках» називав лінією довжину без ширини або межу поверхні. Тривалий час уявлення про криву залишалось на наочному рівні. Прогрес в техніці вимагав точного означення кривої. Перше означення в досить загальній формі дозволив сформувати запропонований в 17 ст. Р. Декартом (1596-1650) метод координат. Так, плоскою кривою, яка визначається рівнянням із двома змінними стали називати множину точок на площині, координати яких задовольняють цьому рівнянню. Це рівняння називаютьзагальнимрівняннямлінії на площині. Однак уже в той час були відомі криві, які або взагалі не можна було задати рівнянням виду , де функція була б достатньо простою, або ж це задання нічого не давало для вивчення лінії. Класичним прикладом такої кривої є спіраль Архімеда. (лінія, що описується точкою, яка рівномірно переміщується за променем, який, у свою чергу, обертається зі сталою кутовою швидкістю навколо нерухомої точки).

Для вивчення ліній, які є траєкторіями рухомої точки, найбільш природним є задання координат точки в залежності від часу. У зв’язку з цим з механіки виникло уявлення про криву як про траєкторію рухомої точки з координатами, які залежать від часу t. Згодом це привело до так званого параметричногозадання лінії, коли координати її точок виражаються як функції деякої третьої змінної величини t (необов’язково часу), яку називають параметром. Найбільш чітке означення сформулював у другій половині 19 ст. К. Жордан (1838-1922): плоскою кривою називається сукупність точок площини, координати яких задовольняють рівнянням: , де φ і ψ є неперервними функціями аргументу t на деякому відрізку . Можна показати, що якщо функції φ і ψ визначені на іншому відрізку , то за допомогою лінійної підстановки можна перейти до відрізка [0,1], не порушуючи неперервності функцій φ і ψ. Інакше кажучи, плоска крива за Жорданом є образом відрізка [a,b] при неперервному відображенні на площину.

Це означення здавалось цілком відповідним наочному уявленню про криву, але в 1890 р. Д. Пеано (1858-1932) побудував неперервне відображення відрізка , образом якого є цілий квадрат на площині. Така крива проходить через усі точки квадрата.

Таким чином, означення Жордана виявилося, з одного боку, занадто широким, оскільки його умовам задовольняють криві, що не відповідають наочно-образним уявленням про криву. З іншого боку, воно дещо вузьке: наприклад, ним не охоплюється крива , 0< ; .

На кінець 19 століття в математику все глибше починає проникати теоретико-множинна точка зору, яка полягає в тому, що будь-який математичний об’єкт розглядається як множина тих чи інших елементів. Найбільш чітко теоретико-множинну точку зору сформулював Г. Кантор (1845-1918). Він визначив плоску криву як будь-яку зв’язну, компактну множину P точок площини, яка не містить в собі ніякої внутрішньої точки. Пояснимо терміни. Точка називається внутрішньою точкою множини, якщо разом з нею множині належить деякий її окіл. Граничною точкою множини М називається точка, в будь-якому околі якої є принаймні одна точка множини М, відмінна від цієї точки. Множина називається зв’язною, якщо при будь-якому поданні її у вигляді об’єднання двох непорожніх підмножин, які не мають спільних точок, принаймні в одній з цих підмножин знайдеться точка, гранична для іншої підмножини. Непорожня множина М називається компактною, якщо будь-яка її нескінченна підмножина містить хоч одну граничну точку множини М. Зв’язну компактну множину називають ще континуумом. Тому під канторовою кривою розуміють плоский континуум, у будь-якому околі кожної точки якого є точки, що не належать континууму.

Усі прості дуги і криві, що складаються з простих дуг, які не мають попарно спільних точок, окрім своїх кінців, відповідають умовам означення Кантора, а криві Пеано вже не є кривими за означенням Кантора.

Важливим прикладом канторової кривої єкилим Серпінського.

Канторове означення не узагальнюється на просторові криві: в тривимірному просторі континуумом, який не містить внутрішніх точок, може бути не тільки крива, але й поверхня, наприклад, площина чи сфера.

Усі спроби математиків дати точне визначення кривої знайшли своє завершення в працях радянського математика П.С. Урисона (1898 – 1924). У 1921р. він, майже одночасно з австрійським математиком К.Менгером і незалежно від нього, дав найбільш загальне визначення поняття кривої, яким користуються в сучасній топології і яке придатне для будь-якого простору.

В диференціальній геометрії використовується дещо змінене означення Жордана. За основу береться поняття елементарної кривої, до вивчення якої зводиться дослідження будь-якої кривої в околі заданої точки, тобто «в малому».

Нехай – відображення інтервалу в евклідів простір (n=2,3): .

Множина , яка складається з образів усіх точок інтервалу при відображенні , називається образом інтервалу ; це деяка фігура .

Відображення φ називається топологічним відображенням, якщо воно неперервне; взаємно однозначне; обернене відображення є неперервним.

Нагадаємо означення використаних вище понять.

1. Відображення називається неперервним в точці Х , якщо

,

тобто близькі точки з відображаються в близькі точки з .

Відображення називається неперервним, якщо воно неперервне в кожній точці інтервалу .

2. Відображення називається взаємно однозначним, якщо в кожну точку відображається тількиодна точка з інтервалу .

3. Оберненим відображенням до відображення : називається відображення таке, що якщо Х і , то .

Елементарною кривою називається образ інтервалу (a,b) при його топологічному відображенні в простір або на площину: – образ .

Приклад. Елементарною кривою є частина прямої або частина параболи як образи інтервалу при відповідних відображеннях. Коло, задане рівнянням , не є елементарною кривою.

Не всі елементарні криві є об’єктами диференціальної геометрії. Для того, щоб елементарна крива стала об’єктом диференціальної геометрії, потрібні додаткові умови, пов’язані з існуванням дотичної до кривої.

Проста крива в околі будь-якої своєї точки є елементарною.

Топологічний образ кола називається замкненою кривою.

Поиск по сайту: