АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Стична площина кривої

Читайте также:
  1. В общении любой мог бы сказать, что Элис спокойная, честная, иногда пессимистичная, но добрая, всегда может помочь и поддержать.
  2. Випадок плоскої кривої
  3. ГУМАНІСТИЧНА ПСИХОЛОГІЯ
  4. Гуманістична психологія виділяє три потенціали, без реалізації яких не можна говорити про власне особистісний спосіб існування.
  5. Державна статистична звітність 603012
  6. Довжина дуги кривої. Натуральна параметризація
  7. Дотична пряма просторової кривої
  8. Евристична і творча функція інтуїції
  9. Змістовний модуль 4. Статистична перевірка гіпотез. Елементи теорії кореляції і дисперсійного аналізу
  10. Інтерлінгвістика як особлива лінгвістична дисципліна.
  11. КОМУНІСТИЧНА ІДЕОЛОГІЯ
  12. Лекція № 15. ПЧП. Площина

Порівняємо радіус-вектор довільної точки дотичної прямої з розкладом радіус-вектора кривої в околі точки .

Якщо покласти , то ці радіус-вектори відрізняються на нескінченно малу : Тому при досить малому криву можна наближено замінити на дотичну пряму. Іншими словами, дотична пряма є першим наближенням кривої. Це означає, що властивості кривої можна вивчати («в малому») за допомогою простішого геометричного образу – прямої (а саме: дотичної прямої).

Узагальненням цієї задачі є задача про знаходження площини, яка була б найтісніше пов’язана з кривою в даній її точці. Це так звана стична площина.

Стичною площиною кривої в даній її точці називається граничне положення площини, яка проходить через дотичну пряму до кривої в точці та іншу точку кривої , що необмежено наближається вздовж до .

Площина, яка проходить через дотичну до кривої , називається дотичною площиною . Дотична площина до кривої проходить через дві точки , що необмежено зближуються (до ). Стична площина – та з дотичних площин, яка проходить через три точки кривої , що необмежено зближуються.

Якщо – плоска крива, то її стична площина співпадає з площиною, в якій лежить ця крива.

Виведемо рівняння стичної площини. Нехай крива задана рівнянням у векторній формі . Візьмемо на точку , якій відповідає радіус-вектор : . Проведемо в цій точці дотичну до , напрям дотичної визначається вектором .

Нехай – точка , близька до , і точці відповідає радіус-вектор : . Через дотичну і точку проведемо площину . Довільній точці площини поставимо у відповідність радіус-вектор : .

Рис.12  
Оскільки вектори , і лежать в одній площині , то їх мішаний добуток дорівнює нулю: .

Але ; .

Звідси

. (8)

 

Знайдемо розклад Тейлора для функції . Для цього запишемо розклад для радіуса-вектора кривої в околі точки за степенями :

.

Звідси .

Підставимо в (8). Одержимо:

;

.

Врахуємо, що , і поділимо обидві частини останньої рівності на .

Одержимо . (9)

Для стичної площини (за означенням), тому .

Тоді з (9) одержимо рівняння стичної площини у векторній формі:

. (10)

Теорема 6. В будь-якій точці регулярної кривої класу (у всякому разі двічі неперервно диференційовної) існує стична площина, причому: 1) якщо , то стична площина єдина і її нормальний вектор ; 2) якщо , то будь-яка площина, яка проходить через дотичну кривої, є стичною.

Враховуючи, що

можемо записати (10) в скалярній формі:

. (10')

Основні властивості стичної площини

1°. Стична площина кривої є граничним положенням площини, яка проходить через три нескінченно близькі точки кривої. Прийнявши цю властивість за означення стичної площини, можна отримати її рівняння. 2°.Дотичною площиною кривої називається будь-яка площина, що проходить через дотичну пряму. Площини, що дотикаються до кривої в даній точці, утворюють пучок. Стична площина належить цьому пучку і є однією з дотичних площин. Можна з’ясувати відмінність стичної площини від інших дотичних площин, які називатимемо звичайними дотичними площинами. Якщо точка кривої наближається до точки дотику, то: 1) віддаль її від звичайної дотичної площини є нескінченно мала другого порядку відносно приросту параметра; 2) віддаль точки від стичної площини є нескінченно мала, принаймні, третього порядку відносно того ж приросту параметра. 3°.Стична площина має дотикання другого порядку з кривою, тобто: , якщо , де d – відстань від , h – відстань від стичної площини. Зауважимо, що дотична пряма з кривою має дотикання 1 порядку. Прийнявши цю властивість за означення стичної площини, можна довести теорему 6. 4°. При будь-якій параметризації кривої вектор другої похідної радіуса-вектора кривої розміщений в її стичній площині. Якщо t – час, а – рівняння руху, то вектор називається вектором прискорення рухомої точки ( – вектор швидкості). Вектор прискорення завжди розміщений в стичній площині траєкторії рухомої точки.

Задача. Скласти рівняння стичної площини конічної гвинтової лінії

в початку координат.

Розв’язання. Початок координат відповідає значенню . Знайдемо перші та другі похідні по t:

При маємо:

Підставляємо ці значення в рівняння (10'):

, звідки , тобто

Зауваження. Дана лінія називається конічною, оскільки вона розміщена на конусі . Це легко перевірити підстановкою: .

Відповідь:


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)