Історичний огляд розвитку диференціальної геометрії

Диференціальна геометрія – це частина математики, яка вивчає геометричні образи, в першу чергу криві та поверхні, використовуючи методи математичного аналізу. Характерною особливістю класичної диференціальної геометрії є те, що вона вивчає властивості геометричних образів "у малому", тобто властивості, які проявляються в досить малому околі деякої точки. Такі властивості називаються диференціальними. Більш сильний, якісно новий метод диференціальної геометрії приводить до кількісних змін в матеріалі дослідження.

Тому від аналітичної геометрії диференціальна геометрія відрізняється своїм предметом і методом. Аналітична геометрія обмежується образами першого та другого порядку і використовує алгебраїчні методи, вектори, координати. Диференціальна геометрія вивчає криві та поверхні значно ширшого класу і використовує числення нескінченно малих, поняття функції, похідної тощо. Звичайно, це примушує накладати певні обмеження на геометричні образи, які вивчаються (якщо похідної не існує, то методи математичного аналізу не працюють).

Диференціальна геометрія виникла і розвивалась у тісному зв’язку з математичним аналізом, який сам в значній мірі виріс із розв’язування таких геометричних задач, як знаходження дотичної до кривої, площі та об’єму фігури. Багато геометричних понять передували відповідним поняттям математичного аналізу. Так, наприклад, поняття дотичної передувало поняттю похідної, поняття площі та об’єму – поняттю інтеграла.

Диференціальна геометрія виникла в XVII ст. та першій половині XVIII ст. одночасно з зародженням диференціального та інтегрального числення. До першої чверті ХІХ ст. вона залишалась розділом математичного аналізу. Окремі поняття диференціальної геометрії зустрічаються в другій половині XVII ст. в працях І. Ньютона, Г. Лейбніца, Х. Гюйгенса, Я. та І. Бернуллі та ін. Усі ці результати відносилися в основному до побудови теорії плоских кривих. Основи теорії поверхонь були закладені в кінці XVIII ст. працями члена Петербурзької Академії наук Л. Ейлера (1707 – 1783) і французького математика, інженера та громадського діяча Г. Монжа (1746 – 1818). Серед праць Ейлера основне значення з точки зору диференціальної геометрії має мемуар «Дослідження про кривину поверхонь» (1767), а серед праць Монжа – книга «Застосування аналізу до геометрії» (1795).

Особливе значення для диференціальної геометрії мали праці німецького математика К. Гаусса (1777 – 1855), до яких він прийшов від геодезії та картографії. В 1818 – 1832 роках Гаусс приймав участь в геодезичних дослідженнях Ганноверського королівства та складанні його детальної карти. В перші роки Гаусс особисто керував цим проектом. Встановлення шляхом вимірювань точної форми Землі мало і практичний, і теоретичний інтерес. Воєнне та економічне значення хороших карт очевидне. Аналіз результатів геодезичних вимірювань потребував загального геометричного методу дослідження поверхонь. Свої ідеї з цього приводу Гаусс виклав у 1827 році в класичній праці «Загальні дослідження про криві поверхні». Гаусс із характерною для нього чіткістю і строгістю ввів основні для класичної диференціальної геометрії поняття двох перших основних квадратичних форм, сферичного зображення поверхні, поняття повної кривини поверхні, згинання поверхні, внутрішньої геометрії поверхні. З того часу диференціальна геометрія перестала бути тільки застосуванням математичного аналізу і отримала статус самостійної математичної науки.

Значний вклад в розвиток диференціальної геометрії внесли в XIX ст. російські геометри: професор Дерптського університету Ф.Г. Міндінг (1806 – 1885), основоположник Московської школи диференціальної геометрії К.М. Петерсон (1828 – 1881). Їхні дослідження в значній мірі присвячені питанням згинання поверхонь, тобто таким неперервним деформаціям поверхонь, при яких внутрішня геометрія поверхні не змінюється. Ці дослідження були продовжені в роботах Д.Ф. Єгорова (1869 – 1931), Б.К. Млодзеєвського (1858 – 1923) та інших.

Після революції 1917 року до старої Московської школи приєдналася школа С.П. Фінікова (1883 – 1964). В 20-х роках у Радянському Союзі створилася і швидко розвивалася тензорна диференціальна геометрія. Геометрів цього напрямку очолював професор В.Ф. Каган (1869 – 1953). В середині XX ст. була створена наукова школа диференціальної геометрії «в цілому», яку очолив О.Д. Александров (1912 – 1999). У цій теорії геометричний образ розглядається як єдине ціле. Вона має багато застосувань, зокрема в теорії так званих тонких оболонок. До цієї школи належить і талановитий харківський геометр О.В.Погорєлов (1919–2002).

У зародженні та розвитку диференціальної геометрії основну стимулюючу роль відіграли і продовжують відігравати потреби життя. Можна назвати чимало галузей життя, в яких поняття і методи диференціальної геометрії знаходять безпосереднє застосування: складання географічних карт; відшукання найкоротшого шляху між двома точками поверхні Землі; розрахунки, пов’язані з прокладанням шляхів на земній поверхні, з польотами космічних кораблів, з рухом морських суден; розрахунки, пов’язані з відшуканням форми літаків, космічних ракет, морських кораблів, котлів, куполів, дахів тощо.

Зауважимо, що всі ці питання мають безпосереднє відношення до шкільного курсу математики. Тому в процесі вивчення диференціальної геометрії, крім здобуття загальної математичної культури, майбутній вчитель математики має отримати і чіткі відповіді на зазначені проблеми.

Тема 1. Вектор-функція скалярного аргументу

Векторно-координатний метод є одним з основних апаратів вивчення як теорії кривих, так і теорії поверхонь. Його складовими частинами є векторна алгебра і векторний аналіз. Векторна алгебра розглядає сталі вектори і запозичує назви дій над векторами (додавання, віднімання, множення) у звичайної алгебри. Векторний аналіз вивчає змінні вектори, для яких основні поняття й операції вводяться за аналогією з тими, які лежать в основі теорії границь, диференціального та інтегрального числення.

Нагадаємо спочатку основні факти векторної алгебри, які вивчались в курсі аналітичної геометрії.

Поиск по сайту: