Несобственные интегралы первого рода

Перенесем:понятиеопределенного интеграла на случай, когда область, по которой производится интегрирование, является бесконечной. На прямой существует три типа бесконечных связных замкнутыхмножеств: 1) полупрямая ; 2) полупрямая ;3)вся бесконечная прямая .

Ради определенности рассмотрим подробно первое из указанных множеств, т. е. полупрямую .

Предположим, что функция определена на полупрямой и что для любого числа А, удовлетворяющего неравенству , существует определенный интеграл Римана .

Этот определенный интеграл мы обозначим символом

. (1.1)

Естественно, возникает вопрос о существовании предела функции при

. (1.2)

Определение1. Предел (1.2) в случае, если он существует, называется несобственным интегралом первого рода от функции по полупрямой и обозначается символом

. (1.3)

При этом говорят, что несобственный интеграл (1.3) сходится, и пишут равенство

.

Впрочем, символ (1.3) употребляют и в случае, если указан­ного выше предела (1.2) не существует, но в этом случае говорят, что несобственный интеграл (1.3) расходится.

Совершенно аналогично определяются несобственные интегралы по полупрямой и по всей бесконечной прямой .

Первый из этих интегралов определяется как предел и обозначается символом .

Что же касается интеграла , то он определяется как предел

при независимом друг от друга стремлении к и к .

Из этих определений следует, что если для некоторого вещественного числа а сходится каждый из несобственных интегралов и , то сходится и несобственный интеграл , причем справедливо равенство

= + .

Заметим еще, что если сходится несобственный интеграл и b – любое число, превосходящее, то сходится и несобственный интеграл , причем = + .Это утверждение непосредственно вытекает из определения сходимости несобственного интеграла.

Поиск по сайту: