Пример 30

Определить с помощью формулы Планка энергетическую светимость DR_э абсолютно черного тела, приходящуюся на узкий интервал длин волн Dl = 10 ангстрем, соответствующий максимуму энергетической светимости при температуре тела Т = 3^.10³ К.

Дано Решение

Dl = 10^{-9 м} Физическую систему составляет абсолютно чер-

Т = 3^.10³ К. ное тело. Энергетическая светимость dR_э, приходя-

DR₃ щаяся на интервал длин волн от l до l + dl, связа-

на с распределением энергии излучения по длинам

волн r _lТ соотношением

dR_э =r_lТdl. (1)

Для нахождения r_lТ воспользуемся формулой Планка для спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела r_w,T:

(2)

где w - частота излучения, =1,054^.10^-23 Дж^.К – постоянная Больцмана; с = 3^.10⁸ м/с – скорость света в вакууме.

Найдем связь между интервалом частот dw. Длина волны l с частотой w связана соотношением:

(3)

Дифференцируя выражение (3), получим:

(4)

Энергетическая светимость, приходящаяся на интервал длин волн dl, равна с противоположным знаком энергетической светимости, приходящейся на интервал частот dw., т.е.

. (5)

Подставляя выражение (4) в формулу (5), получаем

откуда следует

(6)

С учетом формул (1) – (3) и формулы (6) окончательно получаем

(7)

Поскольку речь идет о конечном и достаточно узком интервале длин волн, то

DR_э = r_loDl, (8)

где r_l - максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела при данной температуре.

Для определения длины волны l₀, на которую приходится максимум r_lо, воспользуемся законом смещения Вина

l₀ = b/T (9)

где b = 2,90^.10^{-3 м.}К – постоянная Вина, Т – температура тела.

Подставляя выражения (7) и (9) в формулу (8), получаем, что энергетическая светимость DR_э абсолютно черного тела, приходящаяся на интервал длин волн, соответствующий максимуму энергетической светимости при данной температуре,

(10)

Подставляя в формулу (10) значения величин, получаем:

DR_э = 3,2^.10³ Вт/м².

Проверка размерности:

Поиск по сайту: