Жесткий ротатор

Из классической механики мы помним, что жесткий ротатор – это система, состоящая из двух точечных частиц с массами m₁ и m₂, удерживаемых невесомой связью на постоянном удалении друг от друга. Эта система вращается вокруг оси, проходящей через центр масс системы и направленной перпендикулярно линии связи этих масс.

Можно показать, что кинетическая энергия жесткого ротатора может быть выражена через приведенную массу μ и расстояние между массами r:

, где (II.91)

Рис.6. Схематическое изображение жесткого ротатора.

Такая система эквивалентна в математическом отношении частице с массой , движущейся по поверхности шара радиусом r.

В отсутствии внешних сил можно положить U = 0 и тогда стационарное уравнение Шредингера для жесткого ротатора может быть записано так:

(II.92)

Или после замены постоянной Планка h на :

(II.93)

И, наконец,

(II.94)

Переход от декартовых координат к сферическим координатам позволяет использовать сферическую симметрию задачи и существенно упрощает уравнение Шредингера для неё. Записывая оператор Лапласа в сферических координатах и подставляя в уравнение (II.94), получим:

(II.95)

Так как r = const, то первый член исчезает. Выразим через момент инерции I = r². В результате уравнение имеет решения вида:

, (II.96)

где – присоединенный полином Лежандра.

, (II.97)

где l – орбитальное квантовое число и l = 0,1,2,3,…….n-1.

Поиск по сайту: