АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Квантовый осциллятор

Читайте также:
  1. Гармонический осциллятор
  2. Гармонический осциллятор при произвольном внешнем воздействии
  3. Глава 1.СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ (ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР)
  4. Затухающий гармонический осциллятор
  5. Квантовый гармонический осциллятор.
  6. Консервативный гармонический осциллятор
  7. Осцилляторы
  8. Туннельный эффект. Гармонический осциллятор

 

В классической механике:

, где т.к.

Перейдем теперь к квантовой механике:

(II.48)

 

(II.49)

 

Подставляя гамильтониан в стационарное уравнение Шрёдингера, получаем:

 

(II.50)

 

Разделим уравнение (II.50) на и умножим полученный результат на два:

 

 

Введем безразмерные величины:

, , (II.51)

 

(II.52)

 

Найдем конечные, непрерывные и однозначные волновые функции в интервале , удовлетворяющие уравнению (II.52). Оно имеет решение при

, где (II.53)

 

Это функции вида:

 

(II.54)

 

здесь - полиномы Эрмита-Чебышева n-го порядка:

(II.55)

, то есть эти волновые функции подчиняются условию нормировки. Сравнивая (II.51) и (II.53), получаем:

 

(II.56)

 

n – номер энергетического уровня Е, то есть главное квантовое число. Из (II.54) и (II.55) видно, что четность состояний определяется четностью главного квантового числа “n”.

Точка, в которой волновая функция равна нулю, называется узлом. То есть в такой точке вероятность обнаружить микрочастицу равна нулю. В случае квантового гармонического осциллятора число узлов равно главному квантовому числу n.

Необходимо отметить принципиальную разницу между классическим и квантовым гармоническим осциллятором.

По классической теории наименьшая энергия Еmin = 0 и соответствует покоящейся в положении равновесия частице. По квантовой теории наименьшее значение энергии осциллятора есть:

(II.57)

 

Она называется нулевой энергией. Выясним ее физический смысл. Среднее значение энергии осциллятора равно:

 

(II.58)

 

Соотношение неопределенностей:

(II.59)

 

Поскольку для осциллятора средние значения импульса и координаты равны нулю ( =0 и =0 ) то:

и

 

Отсюда можно написать в соответствии (II.59):

 

(II.60)

 

Объединив (II.58) и (II.60), получаем следующее неравенство:

 

(II.61)

 

Отсюда можно найти Emin:

 

Отсюда:

и (II.62)

Подставим (II.62) в (II.61), получим следующее неравенство:

(II.63)

То есть нулевая энергия есть наименьшая энергия, совместимая с соотношением неопределенностей.



 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 |


Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.023 сек.)