Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Угол между двумя прямыми определяется как угол между их направляющими векторами и находится по формуле:

(38)

Условие параллельности прямых:

(39)

Условие перпендикулярности прямых:

(40)

Возможны следующие четыре случая (рис. 13) взаимного расположения прямых

а – прямые сливаются: ;

б – прямые параллельны: , но ;

в – прямые пересекаются: , но ; , -

компланарны, т.е. , .

Пример 2. Определить угол между прямыми:

;

Решение. Из канонических уравнений прямых определим их направляющие векторы и

Тогда согласно формуле(38) имеем:

Следовательно. .

Пример 3. Доказать, что прямые

и

пересекаются и найти их точку пересечения.

Решение. Из канонических уравнений прямых определим направляющие векторы , и точки, через которые проходят прямые , .

Найдём смешанное произведение векторов:

, , ;

Следовательно, эти векторы компланарны, и две прямые лежат в одной плоскости. Прямые пересекаются, так как векторы и неколлинеарные.

Точку пересечения прямых найдём, например, так: приведём уравнение одной из прямых к параметрическому виду и из уравнения второй прямой найдём значение параметра , отвечающее точке пересечении.

Параметрические уравнения первой прямой: ; ;

Тогда, подставляя эти выражения для в уравнение второй прямой, получим:

Следовательно, точка пересечения ;

;

Поиск по сайту: