Приклад 22

Провести повне дослідження функцій і побудувати їхні графіки:

а) ; б) .

Розв’язок.

а) .

1. Область визначення функції.

Функція визначена при всіх значеннях , крім тих, у яких знаменник перетворюється в нуль, тобто

, .

Область визначення функції .

2. Неперервність функції.

Функція визначена при всіх значеннях , крім . Отже, точки і – точки розриву функції. Дослідимо точки розриву, знайдемо односторонні границі функції в зазначених точках.

;

;

;

.

Оскільки односторонні границі дорівнюють , то в точках і функція має розриви другого роду. Отже, графік функції має дві вертикальні асимптоти і .

3. Парність, непарність.

Оскільки , то функція непарна і її графік симетричний відносно початку координат.

4. Періодичність.

Оскільки не існує значення ,при якому виконується рівність , то функція неперіодична.

5. Точки перетину із осями координат.

Точки перетину графіка функції із координатними вісями шукаємо, дорівнюючи аргумент і функцію нулю.

Із віссю : ; ; .

Точка перетину графіка функції із віссю має координати: .

Із віссю : .

Точка перетину графіка функції із віссю має координати: .

Отже, графік функції проходить через початок координат, інших точок перетину графіка функції із координатними вісями немає.

6. Проміжки зростання, спадання функції, екстремуми.

Знаходимо першу похідну:

.

Знаходимо критичні точки першого роду:

; .

Розіб'ємо область визначення критичними точками першого роду на інтервали і визначимо в кожному з них знак похідної .

		– 1
	+	не існує	+		+	не існує	+
	↗	не існує	↗		↗	не існує	↗

Оскільки при переході через критичну точку похідна не змінює знак, то екстремуму немає.

7. Проміжки опуклості, вгнутості, точки перегину.

Знаходимо другу похідну:

.

Знаходимо критичні точки другого роду: ;

; ; .

Розіб'ємо область визначення критичними точками другого роду на інтервали і визначимо в кожному з них знак другої похідної .

		– 1
	+	не існує	–		+	не існує	–
	È	не існує	Ç		È	не існує	Ç

точка

перегину

Оскільки при переході через критичну точку друга похідна змінює знак, то – абсциса точки перегину. Точка перегину: .

8. Похилі асимптоти.

Рівняння похилої асимптоти будемо шукати у вигляді . Обчислимо значення параметрів і (для дрібно-раціональної функції границі будуть однакові при ).

;

.

Оскільки і , то графік функції має горизонтальну асимптоту (вісь ).

9. Побудова графіка.

Побудуємо графік функції, з огляду на пункти 1-8 (рис. 9).

Додатково знайдемо кілька точок графіка функції:

	–3	–2	–1,5	–0,5	0,5	1,5
	0,38	»0,67	1,2	»–0,67	»0,67	–1,2	»–0,67	–0,38

б) .

1. Область визначення функції.

Логарифмічна функція визначена при , крім цього знаменник не може дорівнювати нулю , тобто .

Тоді область визначення функції має вигляд: .

2. Неперервність функції.

Оскільки функція не визначена в точці , то це точка розриву. Дослідимо характер точки розриву, знайдемо односторонні границі функції.

;

.

Оскільки односторонні границі дорівнюють , то в точці функція має розрив другого роду. Отже, функція в цій точці має вертикальну асимптоту .

Дослідимо також поводження функції на границі області визначення:

.

Це означає, що при справа графік функції прагне до точки .

3. Парність, непарність.

Оскільки і , то функція ні парна ні непарна, тобто загального вигляду.

4. Періодичність.

Оскільки не існує значення ,при якому виконується рівність , то функція неперіодична.

5. Точки перетину із вісями координат.

Із віссю : ; ; .

Оскільки отримана система не має розв’язку, це означає, що точок перетину графіка із віссю немає.

Із віссю : оскільки не належить області визначення, то точок перетину із віссю немає.

Графік функції не перетинає координатні вісі.

6. Проміжки зростання, спадання функції, екстремуми.

Знаходимо першу похідну:

.

Знаходимо критичні точки першого роду:

; ; ; .

Розіб'ємо область визначення критичними точками першого роду на інтервали і визначимо в кожному із них знак похідної .

				е
	–	не існує	–		+
	↘	не існує	↘	2е	↗

min

Оскільки при переході через критичну точку похідна змінює знак із «–» на «+», то в цій точці – мінімум функції.

Знайдемо значення функції в точці : .

7. Проміжки опуклості, вгнутості, точки перегину.

Знаходимо другу похідну:

.

Знаходимо критичні точки другого роду: .

; ; .

Розіб'ємо область визначення критичними точками другого роду на інтервали і визначимо в кожному із них знак другої похідної .

	–	не існує	+		–
	Ç	не існує	È	е 2	Ç

точка

перегину

Оскільки при переході через критичну точку друга похідна змінює знак, то – абсциса точки перегину.

Знайдемо значення функції в точці :

.

8. Похилі асимптоти.

Обчислимо значення параметрів і (з огляду на область визначення функції можна розглядати лише випадок при ).

;

.

Оскільки , то графік функції похилих асимптот не має.

Дослідимо поведінку функції при :

(дивись вище знаходження параметра ).

9. Побудова графіка.

Побудуємо графік функції, з огляду на пункти 1-8 (рис. 10).

Додатково знайдемо кілька точок графіка функції:

	0,5	1,5
	»–1,44	»7,4	»5,77	»6,21	»7,69	»9,11

Питання для самоконтролю

1. Що називається похідною функції?

2. Який геометричний зміст похідної функції?

3. Який має вигляд рівняння дотичної до кривої в точці і рівняння нормалі?

4. Перелічити похідні функцій, що входять у таблицю похідних.

5. Які існують основні правила диференціювання?

6. Як знаходиться похідна складної функції?

7. Як знаходиться похідна оберненої функції?

8. Як знаходиться похідна функції, заданої параметрично?

9. Як знаходиться похідна неявної функції?

10. У чому полягає логарифмічне диференціювання?

11. Що називається диференціалом функції?

12. Як знаходиться диференціал функції?

13. У чому полягає правило Лопіталя? Для чого воно застосовується?

14. Яка функція називається зростаючою, спадаючою?

15. Сформулюйте необхідні і достатні умови зростання, спадання функції.

16. Що називається максимумом і мінімумом функції?

17. Сформулюйте необхідну і достатню умови існування екстремуму.

18. Як знаходиться найбільше і найменше значення функції на відрізку?

19. Яка функція називається опуклою, вгнутою на інтервалі?

20. Що називається точкою перегину графіка функції?

21. Сформулюйте необхідну і достатню умови існування точки перегину?

22. Що називають асимптотою графіка функції?

23. Як знайти похилу асимптоту графіка функції?

24. Викладіть схему повного дослідження функції.

Поиск по сайту: