Приклад 43

Обчислити площу фігур, обмежених лініями:

а) ; б) .

Розв’язок.

а)

Фігура обмежена віссю () і параболою на відрізку .

Побудуємо параболу. Знайдемо точки перетину параболи з віссю . Для цього дорівняємо :

; ; ; .

Знайдемо координати вершини параболи:

,

.

Парабола має вершину в точці з координатами і гілки її спрямовано вгору.

Фігура, обмежена заданими лініями зображена на рис. 15.

Площа шуканої фігури дорівнює сумі площ двох криволінійних трапецій:

.

Знайдемо площу:

(од.²)

(од.²)

Тоді площа заданої плоскої фігури дорівнює:

(од.²).

б)

Фігура обмежена параболою і прямою .

Побудуємо дані параболу і пряму (рис. 16).

Знайдемо межі інтегрування, тобто точки перетину прямої і параболи. Для цього розв’яжемо систему, складену з рівнянь цих ліній:

; ;

;

;

;

.

Отже, парабола і пряма перетинаються в точках з абсцисами і .

Площу фігури визначаємо за формулою:

,

де лінією є пряма (обмежує фігуру зверху), а лінією є парабола (обмежує фігуру знизу).

(од.²).

Поиск по сайту: