Приклад 28

Знайти інтеграли від раціональних дробів:

а) ; б) ; в) .

Розв’язок.

а) .

Оскільки підінтегральна функція є неправильним раціональним дробом, то виділимо з нього цілу частину, тобто представимо його у вигляді суми многочлена і правильного раціонального дробу. Розділимо многочлен у чисельнику на многочлен у знаменнику куточком.

Даний інтеграл прийме вигляд: .

Розкладемо правильний раціональний дріб на суму найпростіших дробів за допомогою методу невизначених коефіцієнтів:

.

Відкинемо знаменники і дорівняємо ліву і праву частини:

.

Дорівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , одержуємо:

Вирішуючи систему лінійних рівнянь, одержимо значення невизначених коефіцієнтів: А = 1; В = 3.

Тоді розкладання має вигляд: .

Знайдемо даний інтеграл, враховуючи отримане розкладання:

= .

б) .

Розкладемо підінтегральну функцію (правильний раціональний дріб) на суму найпростіших дробів за допомогою методу невизначених коефіцієнтів. Розкладання шукаємо у вигляді:

.

Привівши до загального знаменника, одержимо:

Відкинемо знаменники і дорівняємо ліву і праву частини:

.

Дорівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , одержуємо систему:

Вирішуючи систему з п'яти лінійних рівнянь, знаходимо невизначені коефіцієнти:

.

Тоді розкладання має вигляд:

.

Знайдемо даний інтеграл, враховуючи отримане розкладання:

.

в) .

Розкладемо підінтегральну функцію (правильний раціональний дріб) на суму найпростіших дробів за допомогою методу невизначених коефіцієнтів. Розкладання шукаємо у вигляді:

.

Привівши до загального знаменника, одержимо:

.

Відкинемо знаменники і дорівняємо ліву і праву частини:

.

Для знаходження невизначених коефіцієнтів застосуємо метод часткових значень. Надамо часткові значення , при яких множники обертаються в нуль, тобто підставимо ці значення в останній вираз і одержимо три рівняння:

; ;

; ;

; .

Тоді розкладання має вигляд:

.

Знайдемо даний інтеграл, враховуючи отримане розкладання:

.

Поиск по сайту: