Нескінченності. Односторонні границі функції в точці

Нехай задана множина всіх натуральних чисел, розташованих у порядку їхнього зростання: .

Якщо кожному числу із множини натуральних чисел за певним законом ставиться у відповідність одне дійсне число , то множина дійсних чисел називається числовою послідовністю.

Коротко числова послідовність позначається . Найчастіше послідовність задається формулою його загального члена .

Наприклад, загальний член визначає послідовність:

.

Число називається границею числової послідовності , якщо для будь-якого завгодно малого, наперед заданого, числа можна знайти такий номер послідовності , що для всіх членів послідовності з номером виконується нерівність . Графічно це означає, що всі члени послідовності із номером перебувають у проміжку від до (рис. 1).

Якщо така границя існує, то послідовність називається збіжною, у протилежному випадку – розбіжною.

Границя послідовності позначається:

Нехай функція визначена в деякому околі точки . У самій точці функція може бути й не визначена.

Число називається границею функції в точці (при ), якщо для будь-якої числової послідовності значень аргументу (), відповідна послідовність значень функції прагне до числа а.

Дане визначення границі функції графічно показано на рис. 2. При цьому передбачається, що послідовність належить області визначення функції.

Таким чином, число називається границею функції в точці (при ), якщо для будь-якого завгодно малого числа знайдеться таке число , що для всіх значень аргументу , що задовольняють нерівності , буде виконуватися нерівність .

Границя функції в точці позначається:

.

Іноді буває так, що границя функції в точці має різну величину, коли зліва, тобто менше , і коли справа, тобто більше . У такому випадку говорять про односторонні границі функції в точці: лівосторонню і правосторонню відповідно.

Лівостороння границя функції в точці позначається:

.

Правостороння границя функції в точці позначається:

.

Число називається границею функції на нескінченності (при ), якщо для будь-якого завгодно малого числа можна вказати таке число , що для всіх значень аргументу, що задовольняють нерівності , буде виконуватися нерівність .

Границя функції на нескінченності позначається:

.

Зауваження: Позначення є узагальненням для і . Якщо вибір знака є принциповим, то це повинне відображатися в умові завдання.

Поиск по сайту: