Опуклість графіка функції. Точки перегину

Графік функції називається опуклим на інтервалі , якщо він розташований вище будь-якої своєї дотичної на цьому інтервалі (рис. 7а).

Графік функції називається вгнутим на інтервалі , якщо він розташований вище будь-якої своєї дотичної на цьому інтервалі (рис. 7б).

Опуклість і вгнутість графіка функції пов'язана зі знаком другої похідної функції. Знаходження проміжків опуклості і вгнутості спирається на наступну теорему.

Теорема: Якщо у всіх точках інтервалу друга похідна функції від’ємна, тобто , то графік функції на цьому інтервалі опуклий, якщо ж , то графік функції вгнутий.

Точка графіка функції, що відокремлює опуклу частину графіка від вгнутої, називається точкою перегину.

Для знаходження точок перегину графіка функції використовують необхідну і достатню умови існування точок перегину.

Необхідна умова існування точки перегину.

Якщо – абсциса точки перегину графіка функції , то друга похідна в цій точці або дорівнює нулю, або не існує, тобто або не існує.

Точки, у яких друга похідна дорівнює нулю або не існує (зокрема, точки розриву функції), називаються критичними точками другого роду.

Зауваження: Зворотне твердження не завжди є вірним, тобто якщо або не існує, то точка з абсцисою може і не бути точкою перегину.

Достатня умова існування точки перегину.

Якщо друга похідна при переході через критичну точку другого роду змінює знак, то точка з абсцисою є точкою перегину графіка функції.

Поиск по сайту: