Інтегральна сума і визначений інтеграл

Нехай функція визначена і обмежена на відрізку осі .

Розіб’ємо цей відрізок на частин, не обов'язково рівних, точками . Одержимо елементарні відрізки , де . На кожному відрізку візьмемо довільну точку і обчислимо значення функції в кожній обраній точці.

Складемо суму

,

яка називається інтегральною сумою функції на відрізку .

Для даної функції на відрізку можна скласти незліченну множину інтегральних сум, оскільки побудова інтегральної суми полягає в довільному діленні заданого відрізка на елементарні відрізки і довільному виборі точок на кожному елементарному відрізку. Позначимо через – довжину найбільшого з елементарних відрізків.

Границя інтегральної суми за умови, що прагне до нуля, якщо ця границя існує і не залежить від способу розбиття відрізка на частини і від вибору в кожній частині точки , називається визначеним інтегралом від функції в межах від до і позначається _.

,

де – нижня межа інтегрування; – верхня межа інтегрування;

– змінна інтегрування; – підінтегральна функція;

– підінтегральний вираз.

Функція, для якої на відрізку існує визначений інтеграл, називається інтегрованою на цьому відрізку. Для інтегрованості досить, щоб на відрізку функція була неперервна або мала кінцеве число розривів першого роду.

Якщо для неперервної на відрізку підінтегральної функції може бути знайдена первісна функція , то визначений інтеграл від цієї функції обчислюється за формулою Ньютона-Лейбніца як приріст первісної на цьому відрізку:

Поиск по сайту: