Приклад 27

Знайти інтеграли від найпростіших дробів:

а) ; б) ; в) .

Розв’язок.

а) .

б) .

в)

.

Усякий правильний раціональний дріб, знаменник якого може бути розкладений на множники, можна представити у вигляді суми найпростіших дробів. Розкладання на суму найпростіших дробів здійснюють методом невизначених коефіцієнтів. Він полягає в наступному:

– кожному множнику знаменника відповідає один дріб виду ;

– кожному множнику знаменника відповідає сума дробів виду

;

– кожному квадратному множнику знаменника відповідає дріб виду ;

– кожному квадратному множнику знаменника відповідає сума дробів виду

,

де – невизначені коефіцієнти.

Для знаходження невизначених коефіцієнтів праву частину у вигляді суми найпростіших дробів приводять до загального знаменника і перетворюють. У результаті виходить дріб з тим же знаменником, що і у лівій частині рівності. Потім відкидають знаменники і дорівнюють чисельники. У результаті виходить тотожна рівність, у якій ліва частина – многочлен з відомими коефіцієнтами, а права частина – многочлен з невизначеними коефіцієнтами.

Існує два способи визначення невідомих коефіцієнтів: метод невизначених коефіцієнтів і метод часткових значень.

Поиск по сайту: