Екстремуми функції

Точка називається точко ю максимуму функції , якщо існує такий окіл точки , що для всіх точок цього околу виконується нерівність .

Значення функції в точці максимуму називається максимумом функції.

Точка називається точкою мінімуму функції , якщо існує такий окіл точки , що для всіх точок цього околу виконується нерівність .

Значення функції в точці мінімуму називається мінімумом функції.

Максимум і мінімум об’єднуються під загальною назвою екстремум функції, а точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму.

Функція на всій області визначення може мати кілька точок екстремуму. Це означає, що поняття максимуму і мінімуму функції носять локальний характер. Це найбільше і найменше значення функції тільки в околі розглянутої точки, а не у всій області її визначення.

Необхідна умова існування екстремуму функції:

Якщо неперервна функція в точці має екстремум, то її похідна в цій точці дорівнює нулю або не існує, тобто точка екстремуму є критичною точкою І роду.

Зауваження: Не у всякій критичній точці функція має екстремум.

Так, наприклад, для функції (графік функції показано на рис. 5) похідна . Похідна існує при будь-якому значенні аргументу і дорівнює нулю при , тобто функція має одну критичну точку І-го роду: . Однак у даній критичній точці екстремуму немає.

Щоб перевірити, чи має функція в критичній точці екстремум, необхідно додаткове дослідження. Для цього використовують достатні умови існування екстремуму.

Перша достатня умова існування екстремуму.

Якщо неперервна функція має похідну у всіх точках інтервалу, що містить критичну точку , (за винятком, можливо, самої цієї точки) і похідна при переході через точку зліва направо змінює знак з плюса на мінус, то функція в цій точці має максимум, а якщо похідна змінює знак з мінуса на плюс – мінімум.

Друга достатня умова існування екстремуму.

Якщо в точці перша похідна дорівнює нулю , а друга похідна існує і не дорівнює нулю , то при функція в цій точці має максимум, а при функція має мінімум.

Зауваження: У тих випадках, коли в критичній точці друга похідна дорівнює нулю або не існує, то друга достатня ознака існування екстремуму не застосовується.

Поиск по сайту: