Приклади розв’язання задач. Задача 1.Знайти рівняння руху шатуна стругального верстата, якщо кривошип обертається рівномірно: r – довжина кривошипа

Задача 1. Знайти рівняння руху шатуна стругального верстата, якщо кривошип обертається рівномірно: r – довжина кривошипа, L – довжина шатуна, ω₀ – кутова швидкість кривошипа (рис. 32).

Розв’язання

Шатун АВ=L виконує плоскопаралельний рух. Знайти рівняння його руху – означає визначити координати руху точки-полюса А(х_А, у_А), а також кут повороту точки В навколо полюса А, тобто φ=f(t). Як видно з ∆OAD, x_А=OD=r cosα, y_A=AD=r sinα. Оскільки кривошип ОА=r обертається рівномірно, то кут α дорівнює α=ω₀t.

Отже, рівняння руху шатуна: x_А=r cosω₀t, y_A=r sinω₀t.

Далі визначимо sinφ:

sin φ = = .

Звідки:

φ=arcsin ( sinω₀t).

ω = (с^–1).

Використовуючи властивості миттьового центра швидкостей, визначаємо модулі швидкостей точок А, В та С колеса:

;

;

.

Вектори швидкостей точок А, В і С перпендикулярні до прямих, які сполучають ці точки з миттьовим центром швидкостей (див. рис. 33).

Задача 3. У гідравлічній турбіні вода з напрямного апарата попадає в робоче колесо, що обертається, лопатки якого поставлені з запобіжною метою проти входу води з ударом так, щоб відносна швидкість дотикалась до лопатки. Знайти відносну швидкість частинки води на зовнішньому ободі колеса (у момент входу), якщо її абсолютна швидкість при вході =15 м/с, кут між абсолютною швидкістю і радіусом α= 60⁰, радіус входу R =2 м, частота обертання колеса n =30 об/хв (рис.34).

Розв’язання

Для визначення відносної швидкості частинки води М на зовнішньому ободі колеса скористаємося тим, що відносна швидкість – це вектор, який дорівнює геометричній сумі двох векторів: вектора абсолютної швидкості і вектора, що дорівнює за величиною переносній швидкості , але протилежного їй за напрямком:

.

Знайдемо спочатку переносну швидкість . Переносним рухом частинки води М є обертальний рух колеса навколо осі О з кутовою швидкістю:

= π (с^-1).

Отже, переносна швидкість точки М дорівнює:

(м/с).

Вона напрямлена перпендикулярно до радіуса ОМ у бік обертання. Відклавши в протилежну сторону вектор – , за правилом паралелограма додамо швидкості і – . Відносна швидкість точки М напрямлена по діагоналі побудованого на цих векторах паралелограма.

Модуль її визначається формулою:

Задача 4. Вертикальний підйом гелікоптера проходить згідно рівняння z=0,25t², де t виражено в секундах, z – в метрах. При цьому рівняння обертання гвинта має вид: φ=3t², де t –в секундах, φ – в радіанах. Визначити абсолютну швидкість та прискорення точки гвинта, розташованої на відстані R =0,5 м від вертикальної осі обертання, в кінці 5 секунди.

Розв’язання

Зв’яжемо рухому систему відліку з корпусом гелікоптера, а нерухому – із Землею. Абсолютний рух точки гвинта є складним. Він складається з руху гвинта, який обертається навколо вертикальної осі, й руху у вертикальному напрямку разом з корпусом гелікоптера. Обертання гвинта навколо його осі є відносним рухом. Переносним рухом є поступальний рух корпуса гелікоптера вертикально вгору.

Застосуємо теорему про додавання швидкостей у складному русі (рис.35,а):

.

Переносна швидкість точки М гвинта дорівнює швидкості тієї точки корпуса, яка збігається в даний момент часу з точкою гвинта. У поступальному русі корпуса швидкості всіх його точок однакові. Їх модуль визначиться з рівняння його поступального руху вертикально вгору z=0,25t²:

v_пер = z^/ = (0,25t²) ^/ =0,5 t.

При t=5с: v_пер =0,5·5=2,5 м/с.

Для визначення відносної швидкості точки знаходимо кутову швидкість гвинта:

ω_від=φ^/ = (3t²) ^/ = 6t.

При t = 5с: ω_від =6·5=30 рад/с.

Лінійна відносна швидкість точки визначається із формули:

v_від=Rω_від =0,5·30=15(м/с).

а_пер=v^/_пер = (0,5t) ^/ =0,5 м/с².

Відносне прискорення точки М гвинта визначається як:

,

де – нормальне прискорення у відносному русі; – дотичне прискорення у відносному русі.

;

Оскільки ,

то .

Вектори , , взаємно перпендикулярні, тому абсолютне прискорення зображається діагоналлю прямокутного паралелепіпеда (див. рис. 35, б). Його модуль:

.

Питання для самоконтролю

1. Який рух називається плоскопаралельним? Навести приклади.

2. Рівняння плоскопаралельного руху.

3. Розкладання руху плоскої фігури на поступальний (переносний) і обертальний (відносний).

4. Як визначаються швидкості та прискорення точок тіла у плоскопаралельному русі?

5. Теорема про проекції швидкостей двох точок тіла на пряму, що їх з’єднує.

6. Миттьовий центр швидкостей і способи його визначення в різних випадках.

7. Як визначити швидкості точок плоскої фігури, знаючи положення миттьового центра швидкостей?

8. Миттьовий центр прискорень та його визначення.

9. Який рух точки або тіла називається складним? Навести приклади.

10. Дати означення абсолютному, відносному та переносному рухам. Навести приклади.

11. Сформулювати теорему про додавання швидкостей у складному русі. Довести її.

12. Сформулювати та довести теорему про додавання прискорень у складному русі (теорему Коріоліса).

13. Як визначається величина і напрямок прискорення Коріоліса?

14. В яких випадках прискорення Коріоліса дорівнює нулю?

Поиск по сайту: