Приклади розв’язання задач. Задача 1.Тіло масою m=3кг починає рух із стану спокою вздовж гладенької горизонтальної площини під дією сили

Задача 1. Тіло масою m =3 кг починає рух із стану спокою вздовж гладенької горизонтальної площини під дією сили , значення якої збільшується за законом F = 2 t. Знайти закон руху тіла і шлях, який пройде це тіло за 3 с?

Розв’язання

Оберемо початок відліку в точці О і напрямимо вісь Оx у бік руху тіла (рис.37). Зобразимо на рисунку всі сили, які діють на тіло: , , . Складемо диференціальне рівняння руху тіла в проекції на вісь х:

або .

Домножимо ліву і праву частину рівності на dt:

.

Проінтегруємо це рівняння:

;

. (1)

Сталу С₁ визначимо з початкових умов: при t= 0, x =0, v_x =0.

Підставляючи у рівняння (1) початкові умови, знайдемо, що С₁ =0.

Виразимо в рівнянні (1) v_x через :

.

Помноживши ліву і праву частини рівності на dt і проінтегрувавши, маємо:

mdx=t²dt або

Підстановка початкових умов дає С₂ =0.

Тоді закон руху тіла: .

Оскільки тіло рухається по горизонтальній площині, то шлях s у момент часу t =3 c визначиться:

.

Задача 2. Автомобіль піднімається по шорсткій похилій площині, яка утворює кут α= 30⁰ з горизонтом. У початковий момент швидкість автомобіля дорівнювала v₀ = 20 м/с, коефіцієнт тертя f = 0,2. Який шлях пройде автомобіль до зупинки? За який час автомобіль пройде цей шлях?

Розв’язання

Напрямимо вісь x вздовж похилої площини вгору (рис. 38). Візьмемо за початок відліку на осі x початкове положення автомобіля. Початкова швидкість напрямлена вздовж осі x вгору. Тоді початкові умови руху мають вигляд: при t = 0: x = 0, х ^/=v₀.

Зобразимо на рисунку всі сили, які діють на автомобіль , , _.

Запишемо диференціальне рівняння руху автомобіля в проекціяї на вісь x:

. (1)

Знаючи, що F_тр=fN,а , рівняння (1) перепишемо у вигляді:

(2)

або

.

Домножимо ліву і праву частини рівності на dt і проінтегруємо:

. (3)

Використовуючи початкові умови (при t=0 v=v₀), знаходимо сталу С₁: .

Тоді рівняння (3) запишемо у вигляді:

. (4)

Із диференціального рівняння (4) визначаємо закон руху автомобіля. Помноживши на dt і проінтегрувавши рівність, маємо:

Сталу інтегрування С₂ знаходимо із початкових умов: при t = 0: x =0, тому C₂ =0.

Рівняння руху автомобіля буде мати вигляд:

(5)

Із рівняння (4) знайдемо час до повної зупинки автомобіля. Оскільки тоді:

.

Шлях, який пройде автомобіль до зупинки, знаходимо із формули (5):

= .

Задача 3. Стрілок стріляє в ціль, що знаходиться від нього по горизонталі на відстані 60 м, і при цьому тримає рушницю так, що ціль знаходиться на продовженні лінії дула. На скільки нижче від цілі влучить куля, якщо її швидкість дорівнює 600 м/с? Опором повітря знехтувати.

Розв’язання

Оскільки опором повітря нехтуємо, то на кулю діє тільки сила ваги (рис.39).

Складемо диференціальні рівняння руху кулі в проекціях на координатні осі x і y:

т

Початкові умови такі: при t = 0: x₀ = 0, y₀ = 0, v_0x = 600 м/с, v_0y = 0.

Проінтегруємо диференціальні рівняння незалежно одне від одного:

Підставляючи початкові умови, маємо: C₁ =600;

; dх =600 dt; x =600 t + C₂.

Із початкових умов С₂ =0, тоді х =600 t.

Підставляємо початкові умови руху кулі, маємо С₃ =0, звідки:

або ;

; .

Із початкових умов С₄ =0, тоді .

Маючи рівняння руху кулі: , визначимо траєкторію її польоту.

Оскільки то

Отже, траєкторією кулі є парабола. А тепер знайдемо, на скільки куля влучить нижче від цілі:

при x= 60 м:

Питання для самоконтролю

1. У чому полягає сутність другої (оберненої) задачі динаміки?

2. Яка послідовність розв’язання цієї задачі?

3. Як задаються початкові умови руху точки? Який зміст вони мають?

4. Як визначити сталі інтегрування в загальних розв’язках диференціальних рівнянь руху точки?

5. Розв’язання другої задачі динаміки у прямолінійному русі точки.

6. Розв’язання другої задачі динаміки у криволінійному русі точки.

Поиск по сайту: