Короткі теоретичні відомості. Вільні коливання точки. Розглянемо точку M, яка рухається прямолінійно під дією однієї тільки поновлюючої сили

Вільні коливання точки. Розглянемо точку M, яка рухається прямолінійно під дією однієї тільки поновлюючої сили , напрямленої до нерухомого центра O і пропорційної відстані від його центра. Проекція сили на вісь Ox буде (рис.40):

Сила намагається повернути точку в положення рівноваги О, де F=0, тому і назва „поновлююча” сила. Прикладом такої сили є сила пружності.

Знайдемо закон руху точки M. Складемо диференціальне рівняння руху в проекції на вісь х, дістанемо:

або

Розділивши обидві частини рівняння на m і ввівши позначення

дійдемо результату:

Це рівняння є диференціальним рівнянням вільних коливань при відсутності опору.

Загальний розв'язок цього рівняння має вигляд:

де С₁ і С₂ – сталі інтегрування.

Якщо замість сталих С₁ і С₂ ввести сталі А і α, такі, що , , то дістанемо:

x=A(sin kt cos α+cos kt sin α)

або

Це другий вигляд розв’язання диференціального рівняння, де сталі інтегрування А і α. Ним зручніше користуватись для загальних досліджень.

Швидкість точки в цьому русі:

Коливання, здійснювані за цим законом, називаються гармонійними коливаннями точки.

Всім характеристикам цього руху можна дати наочну кінематичну інтерпретацію.

Величина A, яка дорівнює найбільшому відхиленню точки M від центра О, називається амплітудою коливань. Величина φ=kt+α називається фазою коливань. Величина α визначає фазу початку коливань (початкова фаза).

Величина k називається круговою частотою коливань.

Проміжок часу T (або τ), за який точка здійснює одне повне коливання, називається періодом коливань. По проходженні періоду фаза змінюється на 2π. Отже, повинно бути kТ=2π, звідки період:

Величина , обернена періоду, яка визначає кількість коливань за 1с, називається частотою коливань:

Величина k відрізняється від на сталий множник 2π. Далі ми будемо частотою коливань називати величину k.

Вимушені коливання точки. Явище резонансу. Розглянемо випадок коливань, які виникають тоді, коли на точку, крім поновлюючої сили , діє ще сила , яка змінюється з часом і проекція якої на вісь х дорівнює:

Q_x=Q₀sin pt.

Ця сила називається збуджуючою, а коливання, що здійснюються під дією такої сили, називаються вимушеними. Величина р називається частотою збуджуючої сили.

Диференціальним рівнянням вимушених коливань точки при відсутності опору є:

де .

Загальний розв'язок рівняння має вигляд:

або

де А і α – сталі інтегрування, які визначаються за початковими умовами.

Цей розв'язок показує, що коливання в цьому випадку складаються з: 1) коливань із амплітудою А (яка залежить від початкових умов) і частотою k, які називаються власними коливаннями; 2) коливань із амплітудою B (яка не залежить від початкових умов) і частотою p, які називаються вимушеними коливаннями.

Резонанс. У випадку коли p=k, тобто частота збуджуючої сили дорівнює частоті власних коливань, має місце явище, яке називається резонансом. Можна довести, що амплітуда вимушених коливань при резонансі буде з часом необмежено зростати (рис. 41).

Поиск по сайту: