Приклади розв’язання задач. Задача 1. Пружина має в ненапруженому стані довжину 0,2м

Задача 1. Пружина має в ненапруженому стані довжину 0,2 м. Сила, необхідна для зміни її довжини на 0,01 м дорівнює 2 Н. З якою швидкістю v вилетить з труби кулька масою 20 г, якщо пружина була стиснута до довжини 0,1 м? Трубка розташована горизонтально.

Розв’язання

На кульку, яку розглядаємо як матеріальну точку, діють такі сили: сила пружності пружини , сила ваги і реакція стінок (рис. 48). Оскільки рух кульки відбувається по горизонталі, то при його вивченні врахуємо тільки рушійну силу, якою є сила пружності F = – cx, де с = =200 Н/м – коефіцієнт жорсткості пружини, х – величина стиснення.

Застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії:

,

де А – робота сили пружності на переміщенні М₀М, v₀ – швидкість кульки в положенні М₀, v – її швидкість у положенні М.

Оскільки в положенні кульки М₀ х =0,1 м, а в положенні М х =0, то роботу сили пружності знайдемо:

.

Враховуючи, що v₀ =0, дістанемо:

,

звідки:

.

Задача 2. При підході до станції потяг йде зі швидкістю 10 м/с під ухил, кут якого α =10⁰. У деякий момент часу машиніст починає гальмувати потяг. Опір гальмуванню становить 0,2 ваги потяга. Визначити, на якій відстані й через який час від початку гальмування поїзд зупиниться.

Розв’язання

Потяг розглядаємо як матеріальну точку, на яку діють: сила ваги потяга , нормальна реакція дороги , сила опору від гальмування (рис. 49).

Для визначення гальмівного шляху s застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії точки:

;

.

Враховуючи, що потяг зупиняється (v =0), дістанемо:

.

Звідки:

.

Для визначення часу t гальмування скористаємося теоремою про зміну кількості руху точки, обравши напрямок руху потяга за напрямок осі х:

mv_x – mv_0x= S S_kx.

МΔх₁+mΔх₂=0,

де Δх₁ переміщення візка, Δх₂ – переміщення людини.

Зобразимо початкове і кінцеве положення системи. Оскільки центр мас системи зберігає своє положення, то при переміщенні людини візок повинен переміститись вліво (рис. 50).

Для простоти обчислення домовимось, що переміщення візка і людини відбулося в одному напрямку. Тоді абсолютне переміщення візка Δх₁=х, а переміщення людини Δх₂=х+l.

Отже, маємо:

Мх+m(x+l)=0,

звідки переміщення візка:

.

Знак „мінус” показує, що фактичне переміщення візка протилежне тому, що вказано на рисунку.

Задача 4. По похилій площині KL призми DEKL рухається вантаж А масою т_А =8 кг, який приводить у рух за допомогою неростяжної невагомої мотузки вантаж В масою m_В =5 кг. Знайти переміщення призми DEKL масою m_пр =14 кг по ідеально гладенькій площині, якщо вантаж А перемістився по похилій площині KL вниз на 1 м. У початковий момент система перебувала в спокої (рис. 51).

Розв’язання

Покажемо на рисунку всі зовнішні сили, прикладені до матеріальної системи, яка складається з призми та двох вантажів. Зовнішніми силами є: – сила ваги призми, – сила ваги вантажу А, – сила ваги вантажу В і – сумарна нормальна реакція горизонтальної площини (див. рис.51). Оскільки горизонтальна площина ідеально гладенька, то сила тертя ковзання між нею і призмою відсутня. Напрямимо вісь х вздовж горизонталі вправо і скористаємось теоремою про рух центра мас механічної системи в проекції на цю вісь:

.

Оскільки всі зовнішні сили перпендикулярні до осі х, то .

Тоді , а .

У початковий момент часу система перебувала в спокої, тому С₁=0 і . Звідси випливає, що mх_с=С₂, тобто абсциса центра мас системи, незалежно від переміщень окремих мас, які входять у систему, є величиною сталою. Тоді можна записати:

m_АΔх_А+m_ВΔх_В+m_прΔх=0,