Короткі теоретичні відомості. Проекція вектора , тобто моменту сили відносно центра О, на яку-небудь вісь z, що проходить через цей центр (рис

Проекція вектора , тобто моменту сили відносно центра О, на яку-небудь вісь z, що проходить через цей центр (рис. 15), називається моментом сили відносно осі z, тобто

або ,

де – момент сили відносно осі z, γ – кут між вектором і віссю z.

Із означення виходить, що , як проекція вектора на вісь, величина алгебраїчна. Знак визначається так само, як і знак проекції будь-якого вектора, у нашому випадку > 0.

Знайдемо ще один вираз для визначення цієї величини. Для цього через довільну точку О₁ осі z (див. рис.15) проведемо площину (xy ), перпендикулярну цій осі, й спроектуємо ∆ОАВ на цю площину. Оскільки вектор перпендикулярний площині ОАВ, а вісь z перпендикулярна Δ О₁А₁В₁, то кут γ, як кут між нормалями до цих площин, буде кутом між цими площинами. Тоді:

або .

Отже, момент сили відносно осі z дорівнює алгебраїчному моменту проекції цієї сили на площину, перпендикулярну осі z, взятому відносно точки О₁ перетину осі з цією площиною.

Це є друге означення моменту сили відносно осі.

Момент сили відносно осі буде мати знак плюс, коли з додатного кінця осі поворот, що прагне здійснити сила , бачиться проти ходу годинникової стрілки, а знак мінус – за ходом годинникової стрілки.

Послідовність обчислення моменту сили відносно осі (рис.16):

1) необхідно провести площину (xy ), перпендикулярну осі z;

2) спроектувати силу на цю площину і знайти величину F_xy;

3) опустити із точки перетину О осі з площиною перпендикуляр на лінію дії і знайти його довжину h;

4) обчислити добуток F_xy·h;

5) визначити знак моменту.

Поодинокі випадки:

1) якщо сила паралельна осі, то її момент відносно осі дорівнює нулю (оскільки F_xy = 0);

2) якщо лінія дії сили перетинає вісь, то її момент відносно осі також дорівнює нулю (оскільки h=0);

3) якщо сила перпендикулярна осі, то її момент відносно цієї осі дорівнює взятому з відповідним знаком добутку модуля сили на відстань між лінією дії сили і віссю.

Поєднуючи пункти 1 і 2, відзначимо, що момент сили відносно осі дорівнює нулю, якщо сила і вісь лежать в одній площині.

Необхідні й достатні умови рівноваги будь-якої системи сил виражаються рівностями , . Але вектори та дорівнюють нулю тільки тоді, коли і , тобто коли:

Таким чином, для рівноваги довільної просторової системи сил необхідно і достатньо, щоб суми проекцій всіх сил на кожну з трьох координатних осей і алгебраїчні суми їх моментів відносно цих осей дорівнювали нулю.

Випадок збіжних сил. Для рівноваги просторової системи збіжних сил має виконуватись рівність . Аналітично модуль головного вектора визначається за формулою:

Оскільки під коренем стоїть сума додатних складових, то R може дорівнювати нулю тільки тоді, коли одночасно R_x=0, R_y=0, R_z=0,тобто коли сили, що діють на тіло, будуть задовольняти рівності:

Ці рівності і виражають умови рівноваги системи збіжних сил в аналітичній формі: для рівноваги просторової системи збіжних сил необхідно і достатньо, щоб алгебраїчні суми проекцій цих сил на кожну з трьох координатних осей дорівнювали нулю.

Випадок паралельних сил. Якщо всі сили, що діють на тіло, паралельні одна одній, можна обрати координатні осі таким чином, щоб вісь z була паралельна силам (рис.17). Тоді проекції кожної із сил на осі x та y і їх моменти відносно осі z будуть дорівнювати О, тому будемо мати тільки три умови:

Отже, для рівноваги просторової системи паралельних сил необхідно і достатньо, щоб алгебраїчна сума проекцій всіх сил на вісь, паралельну силам, і алгебраїчні суми їх моментів відносно двох інших координатних осей дорівнювали нулю.

Поиск по сайту: