Короткі теоретичні відомості. Динамікою називається розділ механіки, в якому рух матеріальних тіл вивчається з урахуванням сил, що діють на них

Динамікою називається розділ механіки, в якому рух матеріальних тіл вивчається з урахуванням сил, що діють на них.

У кінематиці розглядаються три способи задання руху точки: векторний, координатний і натуральний. У зв’язку з цим, базуючись на другому законі динаміки, виводяться диференціальні рівняння руху матеріальної точки в трьох формах: векторній, координатній та натуральній.

Рівняння у векторній формі. Із кінематики відомо, що рівняння руху точки у векторній формі має вигляд:

,

де – радіус-вектор, який визначає положення точки в будь-який момент часу.

Прискорення точки дорівнює:

Підставляючи це значення у формулу для визначення сили, маємо:

.

Ця рівність називається диференціальним рівнянням руху матеріальної точки у векторній формі. Якщо на точку діє декілька сил, то:

Рівняння в координатній формі. Рух точки в прямокутних декартових координатах задається рівняннями:

Знайдемо рівняння, які пов’язують координати x, y, z цієї точки і силу (або сили), що діє на неї. Ці рівняння дає другий закон динаміки.

Розглянемо матеріальну точку, яка рухається під дією сил , ,..., по відношенню до інерціальної системи відліку Oxyz. Проектуючи обидві частини рівності на осі x, y, z і враховуючи, що , та , дістаємо:

або, позначаючи другі похідні за часом двома штрихами, маємо:

Це і є диференціальні рівняння руху точки в прямокутних декартових координатах.

Оскільки діючі на точку сили можуть залежати від часу t, від координат x, y, z і від швидкості, тобто v_x=x', v_y=y', v_z=z', то в загальному випадку права частина кожного рівняння може бути функцією всіх цих змінних, тобто, t, x, y, z, x', y', z' одночасно.

Рівняння в натуральній формі. Для того щоб дістати ці рівняння, спроектуємо обидві частини рівності на осі натурального тригранника Мτnb, тобто на дотичну Мτ до траєкторії точки, головну нормаль Мn, напрямлену в бік угнутості траєкторії, і бінормаль Мb. Тоді, враховуючи, що:

дістаємо:

Ці рівняння, де , є диференціальними рівняннями руху точки в натуральній формі.

На основі диференціальних рівнянь руху матеріальної точки можна розв’язати такі основні задачі її динаміки:

1) перша задача (пряма): визначення величини і напрямку сили, яка діє на точку, знаючи масу точки і закон її руху;

2) друга задача (обернена, основна): знаходження закону руху точки, якщо відомі маса точки і сили, що діють на неї.

Розглянемо загальну методику розв’язання першої задачі динаміки точки. Воно здійснюється у такій послідовності:

1) диференціювання двічі за часом функцій, які виражають кінематичний закон руху точки;

2)підставлення результатів диференціювання у відповідні диференціальні рівняння й отримання з них значень проекцій сил;

3) визначення модуля сили і косинусів кутів, які визначають напрямок сили (за формулами, відомими із векторної алгебри).

Поиск по сайту: