Короткі теоретичні відомості. Однією з важливих кінематичних характеристик руху точки є її швидкість, яка є мірою руху точки і характеризує бистроту зміни її положення з плином часу

Однією з важливих кінематичних характеристик руху точки є її швидкість, яка є мірою руху точки і характеризує бистроту зміни її положення з плином часу. Швидкість – величина векторна.

Відношення вектора переміщення точки до проміжку часу Δt назвемо середньою за модулем і напрямком швидкістю точки за цей проміжок часу Δt,тобто:

.

Середня швидкість напрямлена вздовж переміщення точки в бік її руху.

Швидкістю точки в даний момент часу називається векторна величина , до якої прямує швидкість з наближенням проміжку часу до нуля. А оскільки граничне значення відношення при Dt®0 є не що інше, як перша похідна від вектора по аргументу t, то маємо:

.

Отже, вектор швидкості в даний момент часу дорівнює першій похідній від радіуса-вектора точки за часом.

Величина, яка характеризує бистроту зміни швидкості точки з плином часу (як за модулем, так і за напрямком), називається прискоренням точки. Прискорення – величина векторна.

Відношення приросту вектора швидкості до проміжку часу ∆t визначає вектор середнього прискорення точки за цей проміжок часу:

.

Напрямок вектора , як видно, збігається з напрямком .

Прискоренням точки в даний момент часу називається векторна величина , до якої прямує середнє прискорення з наближенням проміжку часу Δt до нуля:

або .

Отже, вектор прискорення точки в даний момент часу дорівнює першій похідній від вектора швидкості або другій похідній від радіуса-вектора точки за часом.

У загальному випадку вектор лежить у стичній площині й напрямлений у бік угнутості кривої.

Визначення швидкості й прискорення точки при координатному способі задання її руху

Проекції вектора швидкості точки на осі координат дорівнюють першим похідним від відповідних координат точки за часом:

Знайдемо модуль і напрямок вектора швидкості за формулами:

;

Проекції вектора прискорення точки на координатні осі дорівнюють першимпохідним від проекцій вектора швидкості або другим похідним від відповідних координат точки за часом:

Модуль і напрямок прискорення визначаються за формулами:

Визначення швидкості й прискорення точки при натуральному способі задання її руху

Числова величина швидкості в даний момент часу дорівнює першій похідній від відстані (криволінійної координати) s точки за часом:

Вектор швидкості напрямлений по дотичній до траєкторії точки, причому, якщо v>0, то в додатному напрямку відліку відстані, а якщо v<0, то у від'ємному (рис. 26).

Прискорення при натуральному способі задання руху точки визначається через його проекції на осі натурального тригранника Мτnb: дотичну вісь Мτ, напрямлену по дотичній до траєкторії руху точки в бік додатного відліку відстані, та головну нормаль Мп, яка лежить у стичній площині й напрямлена в бік угнутості кривої.

Проекція вектора прискорення точки на дотичну вісь дорівнює першій похідній від числової величини швидкості або другій похідній від відстані (криволінійної координати) s за часом, а проекція вектора прискорення на головну нормаль дорівнює квадрату швидкості, поділеному на радіус кривизни траєкторії в даній точці кривої:

.

Рис.26

Повне прискорення визначимо як геометричну суму складових (рис.26):

.

Перший доданок у рівнянні називається дотичним прискоренням, а другий – нормальним. Вектор напрямлений завжди в бік угнутості кривої (величина завжди додатна), а може бути напрямлений або в додатному, або у від'ємному напрямку осі Мτ, що залежить від знака проекції . Оскільки вектор нормального прискорення напрямлений до центра кривизни траєкторії, то його ще називають доцентровим.

Розглянемо деякі поодинокі випадки руху матеріальної точки.

1. Прямолінійний рух. Якщо траєкторією точки є пряма лінія, то ρ=∞, тоді , і повне прискорення точки дорівнює одному тільки дотичному прискоренню:

.

2. Рівномірний криволінійний рух. Рівномірним називається такий криволінійний рух точки, в якому числове значення швидкості весь час залишається сталим (v=const). Тоді ,і повне прискорення дорівнює одному тільки нормальному прискоренню:

3. Рівномірний прямолінійний рух. У цьому випадку a_n=a_τ=0, а отже, a=0. Це єдиний рух, в якому прискорення точки весь час дорівнює нулю.

4. Рівнозмінний криволінійний рух. Рівнозмінним називається такий криволінійний рух точки, в якому дотичне прискорення залишається весь час сталим: a_τ= const.

Закон рівнозмінного криволінійного руху точки: