Частотный метод синтеза корректирующих устройств

Наиболее распространен частотный метод синтеза с помощью логарифмических частотных характеристик. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика разомкнутой системы управления однозначно определяется ее передаточной функцией и соответственно наоборот, логарифмической амплитудной частотной характеристике однозначно соответствует передаточная функция разомкнутой системы. Следовательно, на основе требований, предъявляемых к системе можно сформировать желаемый вид ЛАХ, которой будет соответствовать требуемая передаточная функция системы и закон управления. На основе этой взаимосвязи и построен метод синтеза систем автоматического управления по логарифмическим частотным характеристикам.

Процесс синтеза системы управления включает в себя следующие пункты.

1. Построение располагаемой ЛАХ L_Р(ω). Под располагаемой ЛАХ понимается характеристика исходной системы, состоящей из объекта управления и регулятора и не снабженной корректирующими средствами, обеспечивающими требуемое качество работы. Располагаемая ЛАХ L_Р(ω) строится по виду располагаемой передаточной функции W_Р(s) исходной разомкнутой системы.

Замечание: при построении располагаемой ЛАХ обычно значение общего коэффициента передачи разомкнутой системы k_oбщ выбирается на основании требований, предъявляемых к точности системы управления (см. п.2).

2. Построение желаемой ЛАХ L_ж(ω). Желаемая логарифмическая амплитудная частотная характеристика формируется исходя из заданных требований к системе по точности и качеству переходного процесса. Точность задается значениями установившихся ошибок, а качество переходного процесса – величиной перерегулирования и временем регулирования.

Построение желаемой ЛАХ производится по частям.

Низкочастотная часть желаемой ЛАХ формируется из условия обеспечения требуемой точности работы системы управления в установившемся режиме, то есть из условия того, что установившаяся ошибка системы x(∞) не должна превышать заданное значение Δ₃ (x(∞)≤Δ₃).

Требования точности системы формулируются по разному. В системах управления величина установившейся ошибки зависит от общего коэффициента передачи разомкнутой системы и вида задающего воздействия.

Для систем стабилизации при постоянном задающем воздействии g(t)=g₀=const установившаяся ошибка x_g(∞) = g₀/(1+ k_oбщ).

Откуда желаемое значение общего коэффициента передачи разомкнутой системы

(12.3)

Таким образом, низкочастотная часть желаемой ЛАХ должна иметь наклон 0 дб/дек и проходить не ниже точки с координатами: ω=1 c^-1, L(1)=20lg k_oбщ [дб].

Если требуется обеспечить слежение за задающим воздействием g(t)=g1t при g₁=const, то установившаяся ошибка x_g(∞) = g₁/k_oбщ.

Отсюда находим желаемое значение

(12.4)

Таким образом, низкочастотная часть желаемой ЛАХ должна иметь наклон −20дб/дек и проходить не ниже точки с координатами: ω=1 c^-1, L(1)=20lg k_oбщ [дб].

При отработке гармонического задающего воздействия g(t)=g_msinωkt точность оценивается по величине амплитуды ошибки.

В этом случае модуль желаемой частотной передаточной функции разомкнутой системы на частоте качки ω_k должен удовлетворять условию

(12.5)

Таким образом, низкочастотная часть желаемой ЛАХ должна иметь наклон −20 дб/дек и проходить не ниже точки A_К (рис.12.3) с координатами: ω_k [c-1], L_K=L(ω_k) =20lgA(ω_k) [дб].

Рис. 12.3. Запретная область для желаемой ЛАХ

Для определения общего коэффициента передачи разомкнутой системы koбщ по низкочастотной части желаемой ЛАХ находят амплитуду L_общ на частоте ω=1 с^-1, тогда

(12.6)

Часто точный закон изменения задающего воздействия неизвестен, а заданы только максимальная скорость g& m и максимальное ускорение &g&m задающего воздействия. В этом случае при расчете используют эквивалентное гармоническое воздействие, наибольшее значение первой производной которого равно заданному максимальному значению скорости, а наибольшее значение второй производной – максимальному значению ускорения. Тогда частота качки ω_k и амплитуда эквивалентного гармонического воздействия определяются по формулам:

(12.6)

Если скорость задающего воздействия максимальная, а ускорение убывает, то точка A_К (рис.12.) будет двигаться по прямой с наклоном −20дб/дек в диапазоне частот ω<ωk. Если же ускорение равно максимальному, а скорость убывает, то точка A_К двигается по прямой с наклоном −40дб/дек в диапазоне частот ω>ωk. Область, расположенная ниже точки AК и двух прямых с наклоном −20дб/дек и −40дб/дек, представляет собой запретную область для желаемой логарифмической амплитудной частотной характеристики системы.

Среднечастотный участок желаемой ЛАХ строится из условия обеспечения основных показателей качества переходного процесса - перерегулирования и времени регулирования. Это достигается тем, что среднечастотный участок желаемой ЛАХ (рис.12.5) имеет наклон −20 дб/дек (см. раздел 5.6) и пересекает ось частот на частоте среза ω_с, которая определяется по номограмме В.В.Солодовникова (рис. 12.4), исходя из заданных значений величины перерегулирования σ и времени регулирования t_р.

а)	б)

Рис. 12.4. Номограммы В.В.Солодовникова

По номограмме (рис.12.4,а), отложив заданную величину σ (например, 25%), определяем величину tр (как показано стрелками), например

Поскольку требуемое значение tр задается, можно вычислить необходимую частоту среза

(12.7)

Рис. 12.5. Среднечастотный участок желаемой ЛАХ

Протяженность среднечастотного участка определяется номограммой (рис.12.4,б), устанавливающей связь между показателями качества и запасами устойчивости. Так, например, для обеспечения σ=25% требуется запас устойчивости по модулю L_h=20 дб и по фазе μ=58⁰. Среднечастотный участок проводится с наклоном −20 дб/дек влево и вправо от частоты среза ω_с до достижения модулей, равных L_h и −L_h. После этого участки средних и низких частот сопрягаются прямой с наклоном −40 или −60 дб/дек, как удобнее.

Высокочастотный участок желаемой ЛАХ проводится параллельно высокочастотному участку располагаемой ЛАХ. Область высоких частот содержит те сопрягающие частоты, пренебрежение которыми не изменяет существенного вида ЛЧХ системы в области средних частот. Можно считать, что “малыми” параметрами, не влияющими существенно на динамику системы, являются постоянные времени, удовлетворяющие условиям

(12.7)

3. Определение передаточных функций Wж(s) желаемой разомкнутой системы и Фж(s) желаемой замкнутой системы. Желаемая передаточная функция разомкнутой системы Wж(s) находится по виду желаемой ЛАХ Lж(ω), а желаемая передаточная функция замкнутой системы Фж(s) определяется по методике, изложенной выше. Затем строятся фазовая частотная характеристика желаемой разомкнутой системы и переходная характеристика желаемой замкнутой системы и оцениваются фактически получающиеся величины запасов устойчивости и качественные показатели системы. Если полученные при этом показатели качества не превышают требуемых значений, определенных заданием, то построение желаемой ЛАХ считается законченным, иначе построенную желаемую ЛАХ необходимо скорректировать.

Если получившаяся величина перерегулирования превышает заданное значение, то требуется расширение среднечастотного участка желаемой ЛАХ.

Если время регулирования получается больше заданного, то необходимо увеличить частоту среза. На рис.8.9, в качестве примера, приведены ЛАХ располагаемой Lр(ω) и ЛАХ желаемой Lж(ω) разомкнутой системы.

Рис. 12.6. ЛАХ располагаемой и желаемой разомкнутой системы

Здесь располагаемая передаточная функция разомкнутой системы

(12.8)

и желаемая

(12.9)

где k_oбщ=1000.

Поиск по сайту: