Сходимость метода скорейшего спуска

Рассм. задачу (1). Пусть в (1) ф-ция f(x) непрерывно дифференцируема, ограничена снизу на мн-ве , ее градиент уд.векторному усл. Липшица с константой L, то есть для всex

Тогда при любом начальном приближении итерационный процесс метода скорейшего спуска является релаксационным,то есть уд.нер-ву

обладает св-вом

Если дополнительно предположить, что мн-во ограничено, то посл-ность {x^k} сходится к непустому мн-ву S*стационарных точек ф-ции f(x)

Если кроме того, f(x) выпукла на то посл-ность {x^k} явл. минимизирующей и сходится к непустому мн-ву X* решений задачи.

40.Постановка простейшей задачи вариационного исчисления. Примеры.

Говорят, что на некотором классе ф-ций задан функционал, если каждой ф-ции x=x(t) из этого класса, поставлено в соотв. число . Если кажд. Ф-цию x(t) рассматривать, как элемент некоторого пр-ва L, н/р пр-во непрерывных ф-кций, непрерывно дифференцируемых ф-кций, то ,где

В пр-ве L можно рассматривать некоторые мн-ва X L, н/р мн-во

Тогда можно рассматривать задачу оптимизации в функциональном пр-ве, кот.формально может быть записана в той же форме, что и задача мат. прогр:

Найти такое , что. (1)

Задача (1) понимается в глобальном смысле, если необходимо найти ф-цию, доставляющую линейному функционалу J(x) по всем x X и понимаемом в лок смысле, если, , где

Сформулируем зад.вариационного исчисления: Пусть на отрезке T= определена непрерывно дифференцируемая ф-ция x(t), принимающая на концах отрезка заданные значения:

Определим мн-во: (2)

И на этом мн-ве определена ф-ция: (3)

Где ф-ция определена и непрерывна по всем своим аргументам вместе с частными производными по x, , t до 2-го порядка. Требуется найти ф-цию , такую что (4)

Ф-ции из мн-ва (2)наз. допустимыми,а ф-кия наз. минималью

Зад. (2)-(4) обычно понимается в локальном смысле, т.е. минимум ищется по ф-циям

· если

то говорят о сильном локальном минимуме

· если

то говорят о слабом локальном минимуме

Замечание. Если на некоторой кривой достигается сильный локальный минимум, то на ней достигается и слабый локальный минимум, но не наоборот. Поэтому необходимые усл. слабого локального минимума будут явл. и необходимыми усл. сильного локального минимума, но не наоборот.

Пример: (зад.о бахистохроне – кривая наискорейшего времени)

На плоскости заданы 2-е точки А и B. Введем декартовую систему координат: т. А попадает в начало координат, а т.B имеет координаты .Из А в B скатывается тяжелая материальная точка.

Найти кривую x(t) по которой перемещение из А в B произойдет за минимальное время.

Начальная скорость . Точка скатывается под воздействием силы тяжести; сопротивление не учитывается, поэтому скорость точки зависит только от положения точки и не зависит от формы кривой.

По закону Галия: , где g- ускорение свободного падения. С другой стороны, скорость в каждый момент времени вычисляется, как отношение , где ds- дифференциал дуги, которая будет пройденна точкой за время dt.

Известно, что Т.о. . Тогда время, которое необходимо точке для перехода из А в B определяется как .

Т.о. получаем следующую задачу вариационного исчисления:

Поиск по сайту: